COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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三角関数の加法定理

三角関数の加法定理

定理≪三角関数の加法定理≫

 すべての角 $\alpha,$ $\beta$ に対して \begin{align*} \cos (\alpha\pm\beta ) &= \cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta, \\ \sin (\alpha\pm\beta ) &= \sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \end{align*} が成り立つ. また, $\alpha,$ $\beta,$ $\alpha\pm\beta$ が $\dfrac{\pi}{2}$ の倍数でないとき, \[\tan (\alpha\pm\beta ) = \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

問題≪加法定理のさまざまな証明≫

(A)
単位円周上の動点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ に対して, 動径 $\mathrm{OA},$ $\mathrm{OB}$ の表す角が $\alpha,$ $\beta$ であるとする. このとき, $\triangle\mathrm{OAB}$ に余弦定理を適用することで \[\cos (\alpha -\beta ) = \cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta\] が成り立つことを示せ.
(B)
$\triangle\mathrm{ABC}$ において, $\alpha = \angle\mathrm A,$ $\beta = \angle\mathrm B$ とおく. このとき, 正弦定理と第 $1$ 余弦定理 \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC}\cos\beta +\mathrm{CA}\cos\alpha\] を使って \[\sin (\alpha +\beta ) = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta\] が成り立つことを示せ.
(C)
$\alpha,$ $\beta$ が鋭角の場合に, 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ を, $\mathrm{AC}$ が直径となり, $\angle\mathrm{ACB} = \alpha,$ $\angle\mathrm{ACD} = \beta,$ $\mathrm{AC} = 1$ となるようにとる. このとき, 正弦定理とトレミーの定理 \[\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}\] を使って \[\sin (\alpha +\beta ) = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta\] が成り立つことを示せ.

解答例

(A)
$\mathrm{OA},$ $\mathrm{OB}$ のなす角を $\theta$ とおく.
このとき, ある整数 $n$ に対して $\alpha -\beta = \theta +2n\pi$ であり, $\mathrm A(\cos\alpha,\sin\alpha ),$ $\mathrm B(\cos\beta,\sin\beta )$ であるから, \begin{align*} &\cos (\alpha -\beta ) = \cos\theta = \frac{\mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2-\mathrm{AB}^2}{2\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}} \\ &= \frac{1^2+1^2-\{ (\cos\alpha -\cos \beta )^2+(\sin\alpha -\sin\beta )^2\}}{2\cdot 1\cdot 1} \\ &= \frac{2-(1+1-2\cos\alpha\cos\beta -2\sin\alpha\sin\beta )}{2} \\ &= \cos\alpha\cos\beta +\sin\alpha\sin\beta \end{align*} が成り立つ.
(B)
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とおく. このとき, \[\sin\angle\mathrm C = \sin (\pi -\alpha -\beta ) = \sin (\alpha +\beta )\] であるから, 正弦定理により \[\mathrm{BC} = 2R\sin\alpha,\ \mathrm{CA} = 2R\sin\beta,\ \mathrm{AB} = 2R\sin (\alpha\!+\!\beta )\] となる. これらを第 $1$ 余弦定理の式 \[\mathrm{AB} = \mathrm{BC}\cos\beta +\mathrm{CA}\cos\alpha\] に代入すると, \[ 2R\sin (\alpha +\beta ) = 2R\sin\alpha\cos\beta +2R\sin\beta\cos\alpha\] から \[\sin (\alpha +\beta ) = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta\] が得られる.
(C)
正弦定理により \[\mathrm{BD} = \sin (\alpha +\beta )\] であり, $\triangle\mathrm{ABC},$ $\triangle\mathrm{ADC}$ は直角三角形であるから \[\mathrm{AB} = \sin\alpha,\ \mathrm{BC} = \cos\alpha,\ \mathrm{CD} = \cos\beta,\ \mathrm{DA} = \sin\beta\] が成り立つ.
これらをトレミーの定理の式 \[\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD} = \mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}\] に代入すると, \[\sin (\alpha +\beta ) = \sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta\] が得られる.

問題≪レギオモンタヌスの問題≫

 水平面上の点 $\mathrm O$ の真上に相異なる $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ をとる. $\angle\mathrm{APB}$ が最大となるような水平面上の点 $\mathrm P$ に対して, $a = \mathrm{OA},$ $b = \mathrm{OB}$ を用いて距離 $\mathrm{OP}$ を表せ.

解答例

 $\theta = \angle\mathrm{APB},$ $x = \mathrm{OP},$ $\alpha = \angle\mathrm{OPA},$ $\beta = \angle\mathrm{OPB}$ とおく.
このとき, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ であるから
$\theta$ が最大 $\iff$ $\tan\theta$ が最大
が成り立ち, \[\theta = |\alpha -\beta |, \quad \tan\alpha = \frac{a}{x}, \quad \tan\beta = \frac{b}{x}\] となるから, 加法定理により \begin{align*} \tan\theta &= \tan |\alpha -\beta | = \frac{|\tan\alpha -\tan\beta |}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ &= \frac{\left|\dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{x}\right|}{1+\dfrac{a}{x}\cdot\dfrac{b}{x}} = \frac{|a-b|}{x+\dfrac{ab}{x}} \end{align*} となる. よって,
$\theta$ が最大 $\iff$ $x+\dfrac{ab}{x}$ が最小
が成り立つ. 相加・相乗平均の不等式により $x+\dfrac{ab}{x}$ は $x = \dfrac{ab}{x},$ $x^2 = ab,$ つまり $x = \sqrt{ab}$ のときに限り最小値をとるから, 求める距離は \[\mathrm{OP} = \sqrt{ab}\] である.

別解

 $2$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ を通り, 直線 $\mathrm{OP}$ に点 $\mathrm T$ で接する円 $C$ を考える.
$\mathrm P \neq \mathrm T$ のときは線分 $\mathrm{BP}$ と $C$ の交点を $\mathrm Q$ とおくと \[\angle\mathrm{APB} < \angle\mathrm{AQB} = \angle\mathrm{ATB}\] となってしまうから, $\mathrm P = \mathrm T$ である. よって, 方べきの定理により \[\mathrm{OP}^2 = \mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB} = ab\] であるから, $\mathrm{OP} = \sqrt{ab}$ である.

背景

 中世ドイツの天文学者・数学者のレギオモンタヌス(Regiomontanus)は, 高い建物の窓を見るにはどの位置が最も好ましいかを調べるために, このような問題を考えた(1471 年).