COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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面積(数学 III)

区分求積法

定理≪区分求積法≫

 区間 $a \leqq x \leqq b$ で連続な関数 $f(x)$ に対して, \begin{align*} \int_a^b f(x)dx &= \lim_{n \to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k = 0}^{n-1}f\left( a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right) \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k = 1}^nf\left( a+k\cdot\frac{b-a}{n}\right) \end{align*} が成り立つ.

問題≪メルカトル級数とその項の並び替え≫

(1)
$\displaystyle\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k}$ を示せ.
(2)
無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ の和を求めよ.
(3)
項を並び替えて得られる無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)$ の和を求めよ.

解答例

 こちらを参照.