COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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面積

理論

公式

定理≪$2$ つの多項式関数のグラフを境界に持つ領域の面積≫

 $f(x),$ $g(x)$ を多項式関数とする.
(1)
曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ と直線 $x = a,$ $x = b$ で囲まれた領域の面積 $S$ は, \[ S = \left|\int _a^b\big( f(x)-g(x)\big) dx\right|.\]
(2)
特に, $a \leqq b$ ならば, \[ S = \int _a^b|f(x)-g(x)|dx.\]
(3)
特に, $a \leqq b$ であり $a \leqq x \leqq b$ において $f(x) \geqq g(x)$ ならば, \[ S = \int _a^b\big( f(x)-g(x)\big) dx.\]

注意

 この定理は, 任意の連続関数(数学 III) $f(x),$ 例えば多項式関数, 指数関数, 正弦関数やそれらの合成, 絶対値に対して成り立つ.

例≪差が $1$ 次式の積である多項式関数のグラフで囲まれた領域の面積≫

 $f(x),$ $g(x)$ を多項式関数とし, $\alpha < \beta$ とする. $f(x)-g(x) = a(x-\alpha )(x-\beta )$ ($a$: 定数)と因数分解されるとき, $f(x)-g(x)$ の符号は次のように変化する.
$a > 0$ のとき
$x$$\cdots$$\alpha$$\cdots$$\beta$$\cdots$
$f(x)-g(x)$$+$$0$$-$$0$$+$
$a < 0$ のとき
$x$$\cdots$$\alpha$$\cdots$$\beta$$\cdots$
$f(x)-g(x)$$-$$0$$+$$0$$-$
このとき, 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ は直線 $x = \alpha,$ $x = \beta$ 上のみで交わるから, $y = f(x),$ $y = g(x)$ で囲まれた領域の面積 $S$ は \[ S = -|a|\int _\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx = \frac{|a|}{6}(\beta -\alpha )^3.\] この結果は準公式として $2$ 次関数と $2$ 次以下の多項式関数に対してよく適用されるが, 高次の多項式関数に対しても有用である: $f(x) = x^3-x,$ $g(x) = x^3-x^2$ とする. 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標は, $x^3-x = x^3-x^2$ すなわち $x^2-x = 0$ を満たすから, \[ x = 0,\ 1.\] よって, $y = x^3-x,$ $y = x^3-x^2$ で囲まれた領域の面積 $S$ は, \begin{align*} S &= \int _0^1|f(x)-g(x)|dx \\ &= \int _0^1(x-x^2)dx \\ &= -\int _0^1x(x-1)dx \\ &= -\frac{-1}{6}(1-0)^3 \\ &= \frac{1}{6}. \end{align*}
 検算の便利のため, 多項式関数と接線で囲まれた面積についても述べておく.

例≪差が $1$ 次式の平方と $1$ 次式の積である多項式関数のグラフで囲まれた領域の面積≫

 $f(x),$ $g(x)$ を多項式関数とし, $\alpha < \beta$ とする. $f(x)-g(x) = a(x-\alpha )^2(x-\beta )$ ($a$: 定数)と因数分解されるとき, $f(x)-g(x)$ の符号は次のように変化する.
$a > 0$ のとき
$x$$\cdots$$\alpha$$\cdots$$\beta$$\cdots$
$f(x)-g(x)$$-$$0$$-$$0$$+$
$a < 0$ のとき
$x$$\cdots$$\alpha$$\cdots$$\beta$$\cdots$
$f(x)-g(x)$$+$$0$$+$$0$$-$
このとき, 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ は直線 $x = \alpha,$ $x = \beta$ 上のみで交わるから, $y = f(x),$ $y = g(x)$ で囲まれた領域の面積 $S$ は \begin{align*} S &= -|a|\int _\alpha ^\beta (x-\alpha )^2(x-\beta )dx \\ &= -|a|\int _\alpha ^\beta (x-\alpha )^2(x-\alpha +\alpha -\beta )dx \\ &= -|a|\int _\alpha ^\beta \big( (x-\alpha )^3+(\alpha -\beta )(x-\alpha )^2\big) dx \\ &= -|a|\left[\frac{1}{4}(x-\alpha )^4+\frac{\alpha -\beta}{3}(x-\alpha )^3\right] _\alpha ^\beta \\ &= -|a|\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)(\beta -\alpha )^4 \\ &= \frac{|a|}{12}(\beta -\alpha )^4. \end{align*} $f(x)-g(x) = a(x-\alpha )(x-\beta )^2$ ($a$: 定数)と因数分解されるとき, $y = f(x),$ $y = g(x)$ で囲まれた領域の面積 $S$ も同じ式で与えられる.

問題

面積

問題≪放物線と接線を境界に持つ領域の面積≫

 放物線 $C: y = ax^2+bx+c$ と直線 $\ell :y = mx+n$ が直線 $x = \alpha$ 上で接するとき, $C,$ $\ell$ と直線 $x = p$ で囲まれた領域の面積 $S$ を $a,$ $\alpha,$ $p$ で表せ.

解答例

 $C$ と $\ell$ は直線 $x = \alpha$ 上で接するから, $ax^2+bx+c = mx+n$ は重解 $x = \alpha$ を持つ. よって, \begin{align*} (ax^2+bx+c)-(mx+n) &= a(x-\alpha )^2 \\ &= a(x^2-2\alpha x+\alpha ^2) \end{align*} より, \begin{align*} S &= \left|\int _\alpha ^p\big( (ax^2+bx+c)-(mx+n)\big) dx\right| \\ &= \left| a\int _\alpha ^p(x^2-2\alpha x+\alpha ^2)dx\right| \\ &= \left| a\left[\frac{x^3}{3}-\alpha x^2+\alpha ^2x\right] _\alpha ^p\right| \\ &= \left| a\left(\frac{p^3-\alpha ^3}{3}-\alpha p^2+\alpha ^3+\alpha ^2p-\alpha ^3\right)\right| \\ &= \left| a\left(\frac{p^3-\alpha ^3}{3}-p\alpha (p-\alpha )\right)\right| \\ &= \left| a\cdot\frac{p-\alpha}{3}(p^2+p\alpha +\alpha ^2-3p\alpha )\right| \\ &= \left| a\cdot\frac{p-\alpha}{3}(p^2-2p\alpha +\alpha ^2)\right| \\ &= \left| a\cdot\frac{(p-\alpha )^3}{3}\right| \\ &= |a|\frac{|p-\alpha |^3}{3}. \end{align*}

別解: 置換積分法(数学 III)を利用

 $C$ と $\ell$ は直線 $x = \alpha$ 上で接するから, $ax^2+bx+c = mx+n$ は重解 $x = \alpha$ を持つ. よって, \[ (ax^2+bx+c)-(mx+n) = a(x-\alpha )^2\] より, \begin{align*} S &= \left|\int _\alpha ^p\big( (ax^2+bx+c)-(mx+n)\big) dx\right| \\ &= \left| a\int _\alpha ^p(x-\alpha )^2dx\right| \\ &= \left| a\left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^p\right| \\ &= \left| a\cdot\frac{(p-\alpha )^3}{3}\right| \\ &= |a|\frac{|p-\alpha |^3}{3}. \end{align*}

問題≪$2$ 次関数の絶対値のグラフと直線で囲まれた領域の面積≫

 曲線 $y = |x^2-2x|,$ 直線 $y = x$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ.

解答例

 $f(x) = |x^2-2x|,$ $g(x) = x$ とおく. 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標は, $|x^2-2x| = x$ すなわち $x^2-2x = \pm x$ つまり ``$x^2-x = 0$ または $x^2-3x = 0$'' を満たすから, \[ x = 0,\ 1,\ 3.\]
また, $0 \leqq x \leqq 3$ において, \[ f(x) = |x(x-2)| = \left\{\begin{array}{ll} 2x-x^2 & (0 \leqq x \leqq 2), \\ x^2-2x & (2 \leqq x \leqq 3) \end{array}\right.\] より, (図を参考にすると), \begin{align*} |f(x)-g(x)| &= \left\{\begin{array}{ll} (2x-x^2)-x & (0 \leqq x \leqq 1), \\ x-(2x-x^2) & (1 \leqq x \leqq 2), \\ x-(x^2-2x) & (2 \leqq x \leqq 3) \end{array}\right. \\ &= \left\{\begin{array}{ll} x-x^2 & (0 \leqq x \leqq 1), \\ x^2-x & (1 \leqq x \leqq 2), \\ 3x-x^2 & (2 \leqq x \leqq 3). \end{array}\right. \end{align*} よって, $S_1 = \int _0^1|f(x)-g(x)|dx,$ $S_2 = \int _1^2|f(x)-g(x)|dx,$ $S_3 = \int _2^3|f(x)-g(x)|dx$ とおくと, \begin{align*} S &= \int _0^3|f(x)-g(x)|dx = S_1+S_2+S_3, \\ S_1 &= -\int _0^1x(x-1)dx \\ &= -\frac{-1}{6}(1-0)^3 = \frac{1}{6}, \\ S_2 &= \int _1^2(x^2-x)dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right] _1^2 \\ &= \frac{2^3-1^3}{3}-\frac{2^2-1^2}{2} = \frac{5}{6}, \\ S_3 &= \int _2^3(3x-x^2)dx = \left[ 3\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right] _2^3\\ &= 3\cdot\frac{3^2-2^2}{2}-\frac{3^3-2^3}{3} = \frac{7}{6}. \end{align*} ゆえに, \[ S = \frac{1}{6}+\frac{5}{6}+\frac{7}{6} = \frac{13}{6}.\]

問題≪$2$ 次関数と無理関数のグラフで囲まれた領域の面積≫

 $a,$ $b$ を正の数とする. 曲線 $y = ax^2,$ $x = by^2$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ.

解答例

 $y = ax^2 \cdots [1]$ と $x = by^2 \cdots [2]$ の共有点の $x$ 座標は, $[1],$ $[2]$ から $y$ を消去した方程式
$x = b(ax^2)^2$ すなわち $x(a^2bx^3-1) = 0$
を満たすから, \[ x = 0,\ \frac{1}{\sqrt[3]{a^2b}}.\] $[1]$ より, その $y$ 座標は \[ y = 0,\ \frac{1}{\sqrt[3]{ab^2}}.\] よって, $p = \dfrac{1}{\sqrt[3]{a^2b}},$ $q = \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab^2}}$ とおくと, $[1],$ $[2]$ の共有点の座標は, \[ (0,\ 0),\ (p,\ q).\]
ゆえに, \begin{align*} S &= pq-\int _0^pax^2dx-\int _0^qby^2dy \\ &= pq-\left[\frac{a}{3}x^3\right] _{x = 0}^p-\left[\frac{b}{3}y^3\right] _{y = 0}^q \\ &= pq-\frac{a}{3}p^3-\frac{b}{3}q^3 \\ &= \frac{1}{\sqrt[3]{a^2b}}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{ab^2}}-\frac{a}{3}\cdot\frac{1}{a^2b}-\frac{b}{3}\cdot\frac{1}{ab^2} \\ &= \frac{1}{ab}-\frac{1}{3ab}-\frac{1}{3ab} = \frac{1}{3ab}. \end{align*}

問題≪面積による直線の決定≫

 放物線 $y = x^2-x$ と直線 $y = a(x-1)$ で囲まれた領域の面積が $S = \dfrac{4}{3}$ であるとき, 定数 $a$ の値を求めよ.

解答例

 放物線 $y = x^2-x$ と直線 $y = a(x-1)$ の交点の $x$ 座標は, $x^2-x = a(x-1)$ すなわち \[ (x-1)(x-a) = 0\] を満たすから, \[ x = 1,\ a.\] よって, \begin{align*} S &= \int _1^a\big( a(x-1)-(x^2-x)\big) dx \\ &= -\int _1^a(x-1)(x-a)dx \\ &= -\frac{-1}{6}|a-1|^3 \\ &= \frac{|a-1|^3}{6}. \end{align*} 条件より \[\frac{|a-1|^3}{6} = \frac{4}{3}\] すなわち $|a-1|^3 = 8$ だから, $a-1 = \pm 2$ より \[ a = -1,\ 3.\]

問題≪放物線と直線で囲まれた領域の等分≫

 直線 $y = ax$ が放物線 $C:y = 2x-x^2$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $2$ 等分するとき, 定数 $a$ の値を求めよ.

解答例

 放物線 $C$ と直線 $y = ax$ で囲まれた領域の面積を $S(a)$ とおく.
このとき, $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域 $D$ の面積は $S(0)$ と表される.
放物線 $C$ と直線 $y = ax$ の共有点の $x$ 座標は, $2x-x^2 = ax$ を満たすから, \[ x = 0,\ 2-a.\] 直線 $y = ax$ が領域 $D$ の内部を通るとき, $0 < 2-a < 2$ より, \[ 0 < a < 2 \quad \cdots [1]\] であり, \begin{align*} S(a) &= \int _0^{2-a}\big( (2x-x^2)-ax\big) dx \\ &= -\int _0^{2-a}x\big( x-(2-a)\big) dx \\ &= -\frac{-1}{6}(2-a)^3 = \frac{(2-a)^3}{6}. \end{align*} 直線 $y = ax$ が $D$ を $2$ 等分するとき, \[ 2S(a) = S(0)\] より, \[ 2\cdot\frac{(2-a)^3}{6} = \frac{2^3}{6}.\] $[1]$ に注意すると, $(2-a)^3 = 4$ より $2-a = \sqrt[3]{4}$ だから, \[ a = 2-\sqrt[3]{4}.\]

問題≪放物線と $2$ 本の接線で囲まれた領域の面積≫

 放物線 $C:y = x^2$ 上の相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,\ \alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,\ \beta ^2)$ における接線の交点を $\mathrm M$ とおく.
(1)
点 $\mathrm M$ の座標を $\alpha,$ $\beta$ で表せ.
(2)
$C$ と直線 $\mathrm{AB}$ で囲まれた領域の面積 $S,$ $C$ と $2$ 本の接線 $\mathrm{AM},$ $\mathrm{BM}$ で囲まれた領域の面積 $T$ について, $S:T = 2:1$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
$f(x) = x^2$ とおくと, \[ f'(x) = 2x.\] よって, $C$ の点 $\mathrm A(\alpha,\ \alpha ^2)$ における接線の方程式は, \[ y-\alpha ^2 = 2\alpha (x-\alpha )\] すなわち \[ y = 2\alpha x-\alpha ^2 \quad \cdots [1].\] 同様に, $C$ の点 $\mathrm B(\beta,\ \beta ^2)$ における接線の方程式は, \[ y = 2\beta x-\beta ^2 \quad \cdots [2].\] よって, $[1],$ $[2]$ の交点 $\mathrm M$ の $x$ 座標は, $2\alpha x-\alpha ^2 = 2\beta x-\beta ^2$ すなわち \[ 2(\alpha -\beta )x = \alpha ^2-\beta ^2 = (\alpha +\beta )(\alpha -\beta )\] を満たすから, \[ x = \frac{\alpha +\beta }{2}.\] $[1]$ より, $\mathrm M$ の $y$ 座標は, \[ y = 2\alpha\cdot\frac{\alpha +\beta}{2}-\alpha ^2 = \alpha\beta.\] よって, \[\mathrm M\left(\frac{\alpha +\beta}{2},\ \alpha\beta\right).\]
(2)
$\alpha < \beta$ として一般性を失わない.
直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は, \[ y-\alpha ^2 = \dfrac{\beta ^2-\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] すなわち \[ y = (\alpha +\beta )x-\alpha\beta.\] よって, \begin{align*} S &= \int _\alpha ^\beta\big( (\alpha +\beta )x-\alpha\beta -x^2\big) dx \\ &= -\int _\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= -\frac{-1}{6}(\beta -\alpha )^3 = \frac{(\beta -\alpha )^3}{6}. \end{align*} また, 直線 $\mathrm{AM},$ $\mathrm{BM}$ の方程式は $[1],$ $[2]$ で表されるから, $\gamma = \dfrac{\alpha +\beta}{2}$ とおくと, \begin{align*} T &= \int _\alpha ^\gamma (x^2-2\alpha x+\alpha ^2)dx \\ &\qquad +\int _\gamma ^\beta (x^2-2\beta x+\beta ^2)dx \\ &= \left[\frac{x^3}{3}-\alpha x^2+\alpha ^2x\right] _\alpha ^\gamma +\left[\frac{x^3}{3}-\beta x^2+\beta ^2x\right] _\gamma ^\beta \\ &= \frac{\gamma ^3-\alpha ^3}{3}-\alpha\gamma ^2+\alpha ^3+\alpha ^2\gamma -\alpha ^3 \\ &\qquad +\frac{\beta ^3-\gamma ^3}{3}-\beta ^3+\beta\gamma ^2+\beta ^3-\beta ^2\gamma \\ &= \frac{\beta ^3-\alpha ^3}{3}-(\beta ^2-\alpha ^2)\gamma +(\beta -\alpha )\gamma ^2 \\ &= \frac{\beta -\alpha}{3}\big(\beta ^2+\beta\alpha +\alpha ^2-3(\beta +\alpha )\gamma +3\gamma ^2\big) \\ &= \frac{\beta -\alpha}{3}(\beta ^2+\beta\alpha +\alpha ^2-3\gamma ^2)\ (\because 2\gamma = \beta +\alpha ) \\ &= \frac{\beta -\alpha}{12}\big( 4(\beta ^2+\beta\alpha +\alpha ^2)-3(\beta +\alpha )^2\big) \\ &= \frac{\beta -\alpha}{12}(\beta ^2-2\beta\alpha +\alpha ^2) \\ &= \frac{(\beta -\alpha )^3}{12}. \end{align*} ゆえに, \[ S:T = \frac{(\beta -\alpha )^3}{6}:\frac{(\beta -\alpha )^3}{12} = 2:1.\]

(2) の別解: 置換積分法(数学 III)を利用

 直線 $\mathrm{AM},$ $\mathrm{BM}$ の方程式は $[1],$ $[2]$ で表されるから, $\gamma = \dfrac{\alpha +\beta}{2}$ とおくと, \begin{align*} T &= \int _\alpha ^\gamma (x^2-2\alpha x+\alpha ^2)dx +\int _\gamma ^\beta (x^2-2\beta x+\beta ^2)dx \\ &= \int _\alpha ^\gamma (x-\alpha )^2dx +\int _\gamma ^\beta (x-\beta )^2dx \\ &= \left[\frac{(x-\alpha )^3}{3}\right] _\alpha ^\gamma +\left[\frac{(x-\beta )}{3}\right] _\gamma ^\beta \\ &= \frac{(\gamma -\alpha )^3}{3}-\frac{(\gamma -\beta )^3}{3} \\ &= \frac{(\gamma -\alpha)^3+(\beta -\gamma )^3}{3} \\ &= \frac{\big( (\alpha +\beta )-2\alpha \big) ^3+\big( 2\beta -(\alpha +\beta )\big) ^3}{2^3\cdot 3} \\ &\qquad (\because 2\gamma = \alpha +\beta ) \\ &= \frac{(\beta -\alpha )^3+(\beta -\alpha )^3}{2^3\cdot 3} \\ &= \frac{(\beta -\alpha )^3}{12}. \end{align*} その他の部分は同様.

問題≪放物線と直線で囲まれた図形の面積の最小値≫

 放物線 $C:y = x^2$ の点 $\mathrm A(\alpha,\alpha ^2),$ $\mathrm B(\beta,\beta ^2)$ における接線 $l,$ $m$ が直交するように点 $\mathrm A,$ $\mathrm B$ が動くとき, $C$ と線分 $\mathrm{AB}$ で囲まれた面積 $S$ の最小値を求めよ.
[オリジナル問題]

解答例

 $y = x^2$ の導関数は, $y' = 2x.$ よって, 接線 $l$ の方程式は, $y = 2\alpha (x-\alpha )+\alpha ^2$ から, \[ y = 2\alpha x-\alpha ^2.\] 同様に, $m$ の方程式は, \[ y = 2\beta x-\beta ^2.\] これらが直交する条件は, $2\alpha\cdot 2\beta = -1$ から, \[\alpha\beta = -\frac{1}{4}.\] よって, $\alpha < 0 < \beta$ として一般性を失わない. また, 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は, \[ y-\alpha ^2 = \dfrac{\beta ^2-\alpha ^2}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\] すなわち \[ y = (\alpha +\beta )x-\alpha\beta.\] よって, \begin{align*} S &= \int _\alpha ^\beta\big( (\alpha +\beta )x-\alpha\beta -x^2\big) dx \\ &= -\int_\alpha^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= -\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^2 = \frac{1}{6}\left(\beta +\frac{1}{4\beta}\right) ^3. \end{align*} 相加・相乗平均の不等式により, \[ S \geqq \frac{1}{6}\left( 2\sqrt{\beta\cdot\frac{1}{4\beta}}\right) ^3 = \frac{1}{6}.\] 等号は $\alpha = -\dfrac{1}{2},$ $\beta = \dfrac{1}{2}$ のときに成り立つ. ゆえに, 求める最小値は $\dfrac{1}{6}.$

問題≪放物線と共通接線で囲まれた領域の面積比≫

 放物線 $C_1:y = x^2,$ $C_2:y = -2x^2+6x-9$ の $2$ 本の共通接線と $C_1,$ $C_2$ で囲まれた $2$ つの領域の面積の比を求めよ.

解答例

 関数 $y = x^2$ の導関数は $y' = 2x$ であるから, 放物線 $C_1:y = x^2$ 上の点 $(a,\ a^2)$ における接線の方程式は
$y-a^2 = 2a(x-a)$ すなわち $y = 2ax-a^2.$
この接線が放物線 $C_2:y = -2x^2+6x-9$ にも接するとき, \[ -2x^2+6x-9 = 2ax-a^2\] すなわち \[2x^2+2(a-3)x-(a^2-9) = 0\] が重解を持つから, \[ 0 = (a-3)^2+2(a^2-9) = 3(a+1)(a-3)\] が成り立つので, $a = -1$ または $a = 3.$ よって, $C_1,$ $C_2$ の共通接線の方程式は, \[ y = -2x-1, \quad y = 6x-9.\] これらの交点を $\mathrm M$ とおくと, \[\mathrm M(1,\ -3).\] $3$ 点 $\mathrm M,$ $\mathrm A_1(-1,\ 1),$ $\mathrm B_1(3,\ 9)$ を結ぶ三角形の面積は, $\overrightarrow{\mathrm{MA}_1} = (-2,\ 4),$ $\overrightarrow{\mathrm{MB}_1} = (2,\ 12)$ から, \[\triangle\mathrm{MA}_1\mathrm B_1 = \frac{1}{2}|-2\cdot 12-4\cdot 2| = 16.\] $C_1$ と $\mathrm A_1\mathrm B_1$ で囲まれた領域の面積を $S'_1$ とおくと, \[ S'_1 = \frac{1}{6}(3-(-1))^3 = \frac{32}{3}.\] よって, $2$ 本の接線と $C_1$ で囲まれた領域の面積を $S_1$ とおくと, \[ S_1 = \triangle\mathrm{MA}_1\mathrm B_1-S'_1 = \frac{16}{3}.\] $2$ 本の接線と $C_2$ は $2$ 点 $\mathrm A_2(2,\ -5),$ $\mathrm B_2(0,\ -9)$ で接する. $\triangle\mathrm{MA}_1\mathrm B_1$ と $\triangle\mathrm{MA}_2\mathrm B_2$ は $2:1$ の比で相似であるから, \[\triangle\mathrm{MA}_2\mathrm B_2 = \frac{1}{2^2}\triangle\mathrm{MA}_1\mathrm B_1 = 4.\] $C_2$ と $\mathrm A_2\mathrm B_2$ で囲まれた領域の面積を $S'_2$ とおくと, \[ S'_1 = \frac{|-2|}{6}(2-0)^3 = \frac{8}{3}.\] よって, $2$ 本の接線と $C_2$ で囲まれた領域の面積を $S_2$ とおくと, \[ S_2 = \triangle\mathrm{MA}_2\mathrm B_2-S'_2 = 4-\frac{8}{3} = \frac{4}{3}.\] ゆえに, 求める面積の比は, \[ S_1:S_2 = \frac{16}{3}:\frac{4}{3} = 4:1.\]

問題≪放物線から放物線に引いた接線と面積≫

 放物線 $y = x^2-1$ 上の点 $\mathrm P$ から放物線 $y = x^2$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $\mathrm Q,$ $\mathrm R$ とおく. 放物線 $y = x^2$ と線分 $\mathrm{QR}$ で囲まれた領域の面積 $S$ は点 $\mathrm P$ のとり方に依らず一定であることを示せ.

解答例

 点 $\mathrm P,$ $\mathrm Q,$ $\mathrm R$ の $x$ 座標をそれぞれ $p,$ $\alpha,$ $\beta$ とおく. $\alpha < \beta$ としても一般性を失わない.
放物線 $y = x^2$ 上の点 $(t,\ t^2)$ における接線の方程式は, \[ y-t^2 = 2t(x-t).\] これが点 $\mathrm P(p,\ p^2-1)$ を通るとき, \[ (p^2-1)-t^2 = 2t(p-t)\] より, \[ (t-p)^2 = 1.\] この $t$ に関する $2$ 次方程式の解が $\alpha,$ $\beta$ だから, $\alpha < \beta$ に注意すると, \[\alpha = p-1 \quad \cdots [1], \qquad \beta = p+1 \quad \cdots [2].\] 直線 $\mathrm{QR}$ の方程式を $y = mx+n$ とおくと, 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = mx+n$ の交点の $x$ 座標が $\alpha,$ $\beta$ だから, \begin{align*} S &= \int _\alpha ^\beta\big( (mx+n)-x^2\big) dx \\ &= -\int _\alpha ^\beta\big( x^2-(mx+n)\big) dx \\ &= -\int _\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= -\frac{-1}{6}(\beta -\alpha )^3 \\ &= \frac{1}{6}\big( (p+1)-(p-1)\big) ^3 \quad (\because [1],\ [2]) \\ &= \frac{2^3}{6} = \frac{4}{3}. \end{align*} ゆえに, 面積 $S$ は点 $\mathrm P$ のとり方に依らない. (終)

問題≪放物線と直線で囲まれた最小の領域≫

 $a$ を定数とする. 放物線 $y = x^2-1$ と直線 $y = ax$ で囲まれた領域の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ.

解答例

 放物線 $C:y = x^2-1$ と直線 $\ell :y = ax$ の共有点の $x$ 座標は, $x^2-1 = ax$ すなわち \[ x^2-ax-1 = 0\] の解である. この判別式を $D$ とおくと, \[ D = a^2+4 > 0 \quad \cdots [1].\] よって, $a$ の値に依らず, $C,$ $\ell$ は異なる $2$ 点で交わる. その $x$ 座標を $\alpha,$ $\beta$ $(\alpha < \beta )$ とおくと, \begin{align*} S(a) &= \int _\alpha ^\beta\big( ax-(x^2-1)\big) dx \\ &= -\int _\alpha ^\beta (x^2-ax-1)dx \\ &= -\int _\alpha ^\beta (x-\alpha )(x-\beta )dx \\ &= -\frac{-1}{6}(\beta -\alpha )^3 \\ &= \frac{(\beta -\alpha )^3}{6}, \\ \beta -\alpha &= \frac{a+\sqrt D}{2}-\frac{a-\sqrt D}{2} \\ &= \sqrt D \end{align*} より, \[ S(a) = \frac{D\sqrt D}{6}.\] $[1]$ より $D$ は $a = 0$ のとき最小値 $4$ をとるから, $S(a)$ は $a = 0$ のとき最小値 $\dfrac{4\sqrt 4}{6} = \dfrac{4}{3}$ をとる.

問題≪放物線と円で囲まれた領域の面積≫

 $a$ を正の数とする. 放物線 $F:y = x^2+a$ と円周 $C:x^2+y^2 = 3$ の交点における $F$ の接線が原点を通るとき, $a$ の値と, $F$ と $C$ で囲まれた領域のうち小さい方の面積 $S$ を求めよ.

解答例

 放物線 $F$ の点 $\mathrm T(t,\ t^2+a)$ における接線の方程式は, \begin{align*} y &= 2t(x-t)+(t^2+a) \\ &= 2tx-t^2+a. \end{align*} これが原点を通るとき, $0 = -t^2+a$ より, $a > 0$ に注意すると, \[ t = \pm\sqrt a.\] 点 $T$ は円周 $C$ 上にあるから, \[ a+4a^2 = 3\] すなわち $(a+1)(4a-3) = 0$ より, $a > 0$ に注意すると, \[ a = \frac{3}{4}.\] このとき, \[ t = \pm\frac{\sqrt 3}{2}.\] $t > 0$ とすると $\mathrm T\left(\dfrac{\sqrt 3}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)$ であり, もう一方の接点は $\mathrm T'\left( -\dfrac{\sqrt 3}{2},\ \dfrac{1}{2}\right).$ よって, $F$ と $\mathrm{TT}'$ で囲まれた領域の面積を $S_1,$ 劣弧 $\mathrm{TT}'$ に関する扇形の面積を $S_2$ とおくと, \[ S = S_1+S_2-\triangle\mathrm{OTT}'.\] 各項の面積を計算すると \begin{align*} S_1 &= \int_{-\frac{\sqrt 3}{2}}^{\frac{\sqrt 3}{2}}\left( -\left( x+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\left( x-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\right) dx \\ &= -\frac{-1}{6}\left(\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{-\sqrt 3}{2}\right) ^3 = \frac{\sqrt 3}{2}, \\ S_2 &= \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 3^2 = \frac{\pi}{2}, \\ \triangle\mathrm{OTT}' &= \frac{1}{2}\cdot (\sqrt 3)^2\cdot\frac{\sqrt 3}{2} = \frac{3\sqrt 3}{4} \end{align*} となるから, \[ S = \frac{\sqrt 3}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt 3}{4} = \frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt 3}{4}.\]

問題≪放物線と接円で囲まれた領域の面積≫

 放物線 $F:y = x^2+a$ と円周 $C:x^2+y^2 = 1$ が相異なる $2$ 点で接するとき, $F$ と $C$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ.

解答例

 $C$ と $F$ が相異なる $2$ 点 $\mathrm T,$ $\mathrm T'$ で接するとき, $C$ と $F$ の方程式から $y$ を消去して得られる方程式 $x^2+(x^2+a)^2 = 1$ すなわち \[ x^4+(2a+1)x^2+(a^2-1) = 0\] はちょうど $2$ つ相異なる実数解を持つ. このとき, $t = x^2$ とおくと, $t^2+(2a+1)t+(a^2-1) = 0$ は重解を持つから, \[ 0 = (2a+1)^2-4(a^2-1) = 5+4a\] より, \[ a = -\frac{5}{4}.\] このとき, $F,$ $C$ の接点の $x$ 座標は, \[ x = \pm\sqrt t = \pm\sqrt{\frac{-(2a+1)}{2}} = \pm\frac{\sqrt 3}{2}.\] $C$ と $x$ 軸, $x = \pm\dfrac{\sqrt 3}{2}$ で囲まれた領域の面積を $S_1,$ 劣弧 $\mathrm{TT}'$ に関する扇形の面積を $S_2$ とおき, $2$ 点 $\mathrm T,$ $\mathrm T'$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm H,$ $\mathrm H'$ とおくと, \[ S = S_1-S_2-\triangle\mathrm{OHT}-\triangle\mathrm{OH}'\mathrm T'.\] 各項の面積を計算すると \begin{align*} S_1 &= \int_{-\frac{\sqrt 3}{2}}^{\frac{\sqrt 3}{2}}\left| x^2-\frac{5}{4}\right| dx = 2\int_0^{\frac{\sqrt 3}{2}}\left(\frac{5}{4}-x^2\right) dx \\ &= 2\left[\frac{5}{4}x-\frac{1}{3}x^3\right] _0^{\frac{\sqrt 3}{2}} = \frac{5}{2}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{3\sqrt 3}{8} \\ &= \sqrt 3, \\ S_2 &= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 1^2 = \frac{\pi}{3}, \\ \triangle\mathrm{OHT} &= \triangle\mathrm{OH}'\mathrm T' = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt 3}{8} \end{align*} となるから, \[ S = \sqrt 3-\frac{\pi}{3}-2\cdot\frac{\sqrt 3}{8} = \frac{3\sqrt 3}{4}-\frac{\pi}{3}.\]

問題≪放物線と円周と $x$ 軸の接点と面積≫

 $a,$ $p$ を正の数とする. 点 $\mathrm P(p,\ 1)$ を中心とし $x$ 軸に点 $\mathrm H$ で接する円周 $C$ と放物線 $F:y = ax^2$ が点 $\mathrm T(\sqrt 3,\ 3a)$ で接する(共通の接線を持つ)とき,
(1)
$a,$ $p$ の値を求めよ.
(2)
$F$ と $C$ 上の劣弧 $\mathrm{TH}$ ($2$ 点 $\mathrm T,$ $\mathrm H$ を結ぶ短い方の弧)と $x$ 軸で囲まれた面積 $S$ を求めよ.

解答例

(1)
円周 $C$ は $x$ 軸に接し, 中心の $y$ 座標は $1$ だから, $C$ の半径は $1.$ よって, $C$ の方程式は, \[ (x-p)^2+(y-1)^2 = 1.\] 点 $\mathrm T$ は $C$ 上にあるから, \[ (\sqrt 3-p)^2+(3a-1)^2 = 1 \quad \cdots [1].\] 放物線 $F$ の点 $\mathrm T$ における接線 $\ell$ の傾きは, $2\sqrt 3a.$ 直線 $\ell$ は $C$ の接線でもあり, $\ell$ と $C$ の半径 $\mathrm{PT}$ は直交するから, \[ 2\sqrt 3a\cdot\frac{1-3a}{p-\sqrt 3} = -1\] すなわち \[ p-\sqrt 3 = 2\sqrt 3a(3a-1) \quad \cdots [2].\] $[2]$ を $[1]$ に代入すると, \[ 12a^2(3a-1)^2+(3a-1)^2 = 1.\] よって, \begin{align*} 0 &= (12a^2+1)(3a-1)^2-1 \\ &= (12a^2+1)(9a^2-6a+1)-1 \\ &= 108a^4-72a^3+21a^2-6a \\ &= 3a(2a-1)(18a^2-3a+2). \end{align*} $a$ は正の数, 特に実数だから, \[ a = \frac{1}{2}.\] よって, $[2]$ より, \[ p = 2\sqrt 3\cdot\frac{1}{2}\left(3\cdot\frac{1}{2}-1\right) +\sqrt 3 = \frac{3\sqrt 3}{2}.\]
(2)
点 $\mathrm T$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $\mathrm I$ とおく.
放物線 $F$ と $x$ 軸, 直線 $\mathrm{TI}$ で囲まれた領域の面積 $S_1$ は, \[ S_1 = \int _0^\sqrt 3\frac{x^2}{2}dx = \left[\frac{x^3}{6}\right] _0^\sqrt 3 = \frac{3\sqrt 3}{6} = \frac{\sqrt 3}{2}.\] 台形 $\mathrm{TPHI}$ の面積 $S_2$ は, \[ S_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right)\left(\frac{3\sqrt 3}{2}-\sqrt 3\right) = \frac{5\sqrt 3}{8}.\] $\overrightarrow{\mathrm{PT}} = \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2},\ \dfrac{1}{2}\right)$ より $\angle\mathrm{TPH} = 120^\circ$ だから, 扇形 $\mathrm{CTH}$ の面積 $S_3$ は \[ S_3 = \frac{120}{360}\cdot\pi\cdot 1^2 = \frac{\pi}{3}.\] ゆえに, \begin{align*} S &= S_2+S_2-S_3 = \frac{\sqrt 3}{2}+\frac{5\sqrt 3}{8}-\frac{\pi}{3} \\ &= \frac{9\sqrt 3}{8}-\frac{\pi}{3}. \end{align*}

問題≪$3$ 次関数のグラフと $x$ 軸で囲まれた領域の面積≫

 $0 < a < b$ とする. 曲線 $y = x(x-a)(x-b)$ と $x$ 軸で囲まれた領域で, $x \leqq a$ の部分の面積 $S$ と $x \geqq a$ の部分の面積 $T$ が等しいとき, $b,$ $S$ を $a$ で表せ.

解答例

 $f(x) = x(x-a)(x-b)$ とおくと, $f(x)$ の符号は次のように変化する.
$x$$\cdots$$0$$\cdots$$a$$\cdots$$b$$\cdots$
$f(x)$$-$$0$$+$$0$$-$$0$$+$
よって, \begin{align*} S &= \int _0^a|f(x)|dx = \int _0^af(x)dx, \\ T &= \int _a^b|f(x)|dx = -\int _a^bf(x)dx. \end{align*} これと $S = T$ より, \begin{align*} 0 &= S-T \\ &= \int _0^af(x)dx+\int _a^bf(x)dx \\ &= \int _0^bf(x)dx \\ &= \int _0^b\big( x^3-(a+b)x^2+abx\big) dx \\ &= \left[\frac{x^4}{4}-(a+b)\cdot\frac{x^3}{3}+ab\cdot\frac{x^2}{2}\right] _0^b \\ &= \frac{b^4}{4}-\frac{(a+b)b^3}{3}+\frac{ab^3}{2} \quad \cdots [1] \\ &= \frac{3b-4(a+b)+6a}{12} \\ &= \frac{b^3(2a-b)}{12}. \end{align*} $b \neq 0$ に注意すると, \[ b = 2a \quad \cdots [2].\] $[1]$ と同様の計算により, \begin{align*} S &= \int _0^af(x)dx \\ &= \left[\frac{x^4}{4}-(a+b)\cdot\frac{x^3}{3}+ab\cdot\frac{x^2}{2}\right] _0^a \\ &= \left[\frac{x^4}{4}-ax^3+a^2x^2\right] _0^a \quad (\because [2]) \\ &= \frac{a^4}{4}-a^4+a^4 \\ &= \frac{a^4}{4}. \end{align*}

問題≪高次式で表された面積の最小値≫

 $0 < a < 2$ とする. 曲線 $y = x^3-2x^2$ と $y = a(x^2-2x)$ で囲まれた領域の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ.

解答例

 $f(x) = x^3-2x^2,$ $g(x) = a(x^2-2x),$ $h(x) = f(x)-g(x)$ とおくと, \[ h(x) = x^3-(a+2)x^2+2ax = x(x-a)(x-2)\] より, 曲線 $y = f(x),$ $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標は \[ x = 0,\ a,\ 2\] であり, $h(x)$ の符号は次のように変化する.
$x$$\cdots$$0$$\cdots$$a$$\cdots$$2$$\cdots$
$h(x)$$-$$0$$+$$0$$-$$0$$+$
よって, $H(x) = \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{(a+2)x^3}{3}+ax^2$ とおくと, \begin{align*} S(a) &= \int _0^2|h(x)|dx \\ &= \int _0^ah(x)dx-\int _a^2h(x)dx \\ &= [H(x)]_0^a-[H(x)]_a^2 \\ &= H(a)-H(0)-H(2)+H(a) \\ &= 2H(a)-H(0)-H(2) \\ &= 2\left(\frac{a^4}{4}-\frac{(a+2)a^3}{3}+a\cdot a^2\right) \\ &\qquad -0-\left(\frac{2^4}{4}-\frac{(a+2)2^3}{3}+a\cdot 2^2\right) \\ &= -\frac{a^4}{6}+\frac{2a^3}{3}-\frac{4a}{3}+\frac{4}{3}. \end{align*} $S(a)$ を $a$ で微分すると, \begin{align*} S'(a) &= -\frac{2a^3}{3}+2a^2-\frac{4}{3} \\ &= -\frac{2}{3}(a^3-3a^2+2) \\ &= -\frac{2}{3}(a-1)(a^2-2a-2) \end{align*} であり, $0 < a < 2$ より \[ a^2-2a-2 = a(a-2)-2 < 0\] だから, $S(a)$ の増減表は次のようになる.
$a$$(0)$$\cdots$$1$$\cdots$$(2)$
$S'(a)$$-$$0$$+$
$S(a)$$\searrow$極小$\nearrow$
ゆえに, $S(a)$ は $a = 1$ のとき最小値 \[ S(1) = -\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\] をとる.

問題≪$4$ 次曲線と接線で囲まれた領域の面積≫

 曲線 $C:y = x^4-2x^2+x+1$ と $C$ の点 $(1, 1)$ における接線 $\ell$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ.

解答例

 $f(x) = x^4-2x^2+x+1$ とおく. このとき, \[ f'(x) = 4x^3-4x+1.\] よって, $\ell$ の傾きは \[ f'(1) = 4-4+1 = 1\] であるから, $\ell$ の方程式は \[ y-1 = f'(1)(x-1)\] すなわち \[ y = x.\] よって, $C$ と $\ell$ の交点の $x$ 座標は, \begin{align*} f(x)- x &= x^4-2x^2+1 = (x^2-1)^2 \\ &= (x+1)^2(x-1)^2 \end{align*} の根であるから, \[ x = \pm 1.\] ゆえに, \begin{align*} S &= \int _{-1}^1|f(x)-x|dx \\ &= \int _{-1}^1(x^4-2x^2+1)dx \\ &= 2\int _0^1(x^4-2x^2+1)dx \\ &= 2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right] _0^1 \\ &= 2\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right) \\ &= \frac{16}{15}. \end{align*}