COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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等差数列

等差数列

定義≪等差数列≫

 隣り合う $2$ 項の差が一定である, すなわちある定数 $d$ について
$a_{n+1}-a_n = d$ つまり $a_{n+1} = a_n+d$
を満たす数列 $\{ a_n\}$ を等差数列(arithmetic sequence, progression)と呼び, $d$ をその公差(common difference)と呼ぶ.

定理≪等差中項≫

 $3$ 数 $a,$ $b,$ $c$ がこの順に等差数列をなすとき, \[ 2b = a+c\] が成り立つ.

問題≪$3$ 辺の長さが等差数列をなす直角三角形≫

 $3$ 辺の長さが等差数列をなすような直角三角形の $3$ 辺の長さの比を求めよ.

解答例

 題意の直角三角形の辺の長さを $a-d,$ $a,$ $a+d\ (a > d > 0)$ とおく. このとき, 三平方の定理により \begin{align*} (a-d)^2+a^2 &= (a+d)^2 \\ a^2-2ad+d^2+a^2 &= a^2+2ad+d^2 \\ a^2 &= 4ad \end{align*} が成り立つから, 両辺を $a(> 0)$ で割ると \[ a = 4d\] となる. ゆえに, 題意の直角三角形の $3$ 辺の長さの比は \[ (a-d):a:(a+d) = 3d:4d:5d = 3:4:5\] である.

定理≪等差数列の一般項≫

 初項 $a,$ 公差 $d$ の等差数列 $\{ a_n\}$ の一般項は \[ a_n = a+(n-1)d\] である.