? Bertrand=Chebyshevの定理

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Bertrand=Chebyshevの定理

理論

主定理

定理≪Bertrand=Chebyshevの定理≫

 すべての正の整数 $n$ に対して, $n < p \leqq 2n$ なる素数 $p$ が少なくとも $1$ つ存在する.

補題

補題≪中央二項係数の下からの評価≫

 すべての正の整数 $n$ に対して \[ {}_{2n}\mathrm C_n \geqq \frac{4^n}{2n}\] が成り立つ.

証明

 $(x+1)^{2n}$ の展開式の各項の係数 ${}_{2n}\mathrm C_k$ の総和は \[ (1+1)^{2n} = 2^{2n} = 4^n\] であるから, 二項係数の単峰性 \[ 1 = {}_{2n}\mathrm C_0 < \cdots < {}_{2n}\mathrm C_n > \cdots > {}_{2n}\mathrm C_{2n} = 1\] と特に ${}_{2n}\mathrm C_n \geqq 2$ であることにより, \[ 2n\cdot {}_{2n}\mathrm C_n \geqq \sum_{k = 1}^{2n-1}{}_{2n}\mathrm C_k+2 = 4^n,\] よって ${}_{2n}\mathrm C_n \geqq \dfrac{4^n}{2n}$ が成り立つ.

補題≪中央二項係数の上からの評価≫

 $n$ を正の整数, $p$ を素数として, $m = \mathrm{ord}_p({}_{2n}\mathrm C_n)$ とおく. ただし, $\mathrm{ord}_p(x)$ は整数 $x \neq 0$ の素因数分解における $p$ の指数を表す. このとき,
(1)
$p^m \leqq 2n$ である.
(2)
$p > \sqrt{2n}$ のとき, $m \leqq 1$ である.
(3)
$2 \leqq \dfrac{2}{3}n < p < n$ のとき, $m = 0$ である.

証明

(1)
$p$ 進付値に関するルジャンドルの定理により, \begin{align*} m &= \mathrm{ord}_p\left(\frac{(2n)!}{n!n!}\right) = \mathrm{ord}_p((2n)!)-2\,\mathrm{ord}_p(n!) \\ &= \sum_{k = 0}^\infty\left(\left[\frac{2n}{p^k}\right] -2\left[\frac{n}{p^k}\right]\right) \\ \end{align*} が成り立つ. $x = \dfrac{n}{p^k}$ に対して $[2x] \leqq 2x,$ $x-1 < [x]$ から $[2x]-2[x] < 2$ であるので, \[ [2x]-2[x] \in \{ 0,1\}\] であり, $[2x]-2[x] = 0$ のとき $2x < 1$ つまり $p^k > 2n$ であるから, \[ m \leqq \max\{ k:\text{ 正の整数}|p^k \leqq 2n\}, \quad p^m \leqq 2n\] が成り立つ.
(2)
$p > \sqrt{2n}$ のとき, $p^2 > 2n$ であるので, (1) の結果から $m \leqq 1$ である.
(3)
$2 \leqq \dfrac{2}{3}n < p < n$ のとき, $3p > 2n$ と $p \neq 2$ から, $\dfrac{(2n)!}{n!n!}$ の分子を割り切る $p$ の倍数は $p,$ $2p$ のみであるので, $m = 0$ が成り立つ.

補題≪素数の積の上からの評価≫

 $2$ 以上の実数 $x$ に対して, $x$ 以下のすべての素数の積を $P(x)$ とおくと, $P(x) \leqq 4^{x-1}$ が成り立つ.

主定理の証明

証明[Erdosの証明の一部をSiegelが改良]

 まず, $\sqrt{2n} < \dfrac{2}{3}n,$ $n > \dfrac{9}{2}$ つまり $n \geqq 5$ の場合を考える. $n < p \leqq 2n$ なる素数の個数を $N$ とおき, $N > 0$ を示す. ${}_{2n}\mathrm C_n$ の素因数分解における素数 $p$ の指数を $m_p$ とおくと, 上の $3$ つの補題により, \begin{align*} \frac{4^n}{2n} \leqq {}_{2n}\mathrm C_n &= \prod_{p \leqq \sqrt{2n}}p^{m_p}\prod_{\sqrt{2n} < p \leqq \frac{2}{3}n}p\prod_{n < p \leqq 2n}p \\ &= \prod_{p \leqq \sqrt{2n}}(2n)\prod_{p \leqq \frac{2}{3}n}p\prod_{n < p \leqq 2n}(2n) \\ &\leqq (2n)^{\sqrt{2n}}4^{\frac{2}{3}n-1}(2n)^N \end{align*} が成り立つ. 整理すると \[ 2^{\frac{2n+6}{3}} < (2n)^{N+\sqrt{2n}+1} \quad \cdots [1]\] となるので, 両辺の $2$ を底とする対数をとると \begin{align*} [1] &\iff \frac{2n+6}{3} < \frac{N+\sqrt{2n}+1}{\log_{2n}2} \\ &\iff N+\sqrt{2n}+1 > \frac{2n+6}{3}\log_{2n}2 \\ &\iff N > \frac{2n+6}{3\log_22n}-(\sqrt{2n}+1) \\ &\Longrightarrow N > \frac{2n-1}{3\log_2{2n}}-(\sqrt{2n}+1) \end{align*} となる. そこで, $2n-1-3(\sqrt{2n}+1)\log_2{2n} > 0$ つまり \[\sqrt{2n}-1-3\log_22n > 0\] を示せばよい. $f(x) = \sqrt{2x}-1-3\log_22x\ (x > 0)$ とおく. このとき, \begin{align*} f(2^9) &= 2^5-1-30 = 1 > 0, \\ f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{3}{x\log 2} = \frac{\sqrt x\log 2-3\sqrt 2}{\sqrt 2x\log 2} \end{align*} となる. $f'(x)$ の分母は常に正であり, $f'(2^9)$ の分子は \[\sqrt{2^9}\log 2-3\sqrt 2 > \sqrt 2(16\cdot 0.69-3) > 0\] となるので, $x \geqq 2^9$ のとき $f(x) > 0$ となる. よって, $n \geqq 2^9$ のときに題意が成り立つ.
 $n < 2^9$ のときには, \[ 2,3,5,7,13,23,43,83,163,163,317,521\] という素数の数列から題意の成り立つことが示される.

補足

 Goldbach 予想「$4$ 以上の偶数は $2$ つの素数の和で表せる」が真であるとすると, 主定理の成り立つことが簡単にわかる.

応用

 Bertrand=Chebyshevの定理を用いると, 次の定理が証明できる.

定理≪複数の連続する整数の積は累乗数でない(Erdos=Selfridge,1975)≫

 $2$ 以上の整数 $n$ に対して, $n$ 個の連続する正の整数の積は累乗数でない.

定理≪Bonse の不等式≫

 $n$ 番目の素数を $p_n$ とおく. $n \geqq 4$ のとき \[ p_1p_2p_3\cdots p_n > p_{n+1}{}^2\] が成り立つ.

証明

(i)
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210 > 121 = 11^2$ から, $n = 4$ のとき成り立つ.
(ii)
与えられた整数 $n \geqq 4$ に対して不等式が成り立つとすると, Bertrand=Chebyshevの定理により $p_{n+2} < 2p_{n+1}$ が成り立つので, \[ p_{n+2}{}^2 < 4p_{n+1}{}^2 < 4p_1p_2p_3\cdots p_n < p_1p_2p_3\cdots p_np_{n+1}\] が得られる.
(i), (ii) から, すべての整数 $n \geqq 4$ に対して不等式が成り立つ.
最終更新日: 2018 年 2 月 22 日