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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ベルヌーイの不等式

ベルヌーイの不等式

定理≪ベルヌーイの不等式≫

(1)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x)^n \geqq 1+nx \quad (x \geqq -2) \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x_1)\cdots (1+x_n) \geqq 1+\sum_{k = 1}^nx_k\ (x_k \geqq 0) \quad \cdots [2]\] が成り立つ.

証明

(1)
\begin{align*} A &= (1+x)^{n+1}-(1+x)^n \\ &\qquad -\{ 1+(n+1)x\} +(1+nx) \\ &= (1+x)^n(1+x-1)-x \\ &= (1+x)^nx-x \\ &= x\{ (1+x)^n-1\} \end{align*} は, $x > 0$ のとき正である. $-2 \leqq x \leqq 0$ のとき, $-1 \leqq 1+x \leqq 1$ つまり $|1+x| \leqq 1$ から, \[ (1+x)^n-1 \leqq 0\] であるので, $A \geqq 0$ が成り立つ. よって, $x \geqq -2$ のとき, \[ (1+x)^{n+1}-\{ 1+(n+1)x\} \geqq (1+x)^n-(1+nx)\] であるから, $(1+x)^1-(1+1\cdot x) = 0$ と数学的帰納法により $(1+x)^n \geqq 1+nx$ が成り立つ.
(2)
(i)
$(1+x_1)^1 = 1+x_1$ から, $n = 1$ のとき $[2]$ が成り立つ.
(ii)
与えられた正の整数 $n$ に対して $[2]$ が成り立つとする. $x_{n+1} \geqq 0$ のとき, $1+x_{n+1} \geqq 0$ であるから, $[1]$ の両辺に $1+x_{n+1}$ を掛けると, \begin{align*} &(1+x_1)\cdots (1+x_n)(1+x_{n+1}) \\ &\geqq \left( 1+\sum_{k = 1}^nx_k\right) (1+x_{n+1}) \\ &= 1+\sum_{k = 1}^nx_k+x_{n+1}+x_{n+1}\sum_{k = 1}^nx_k \\ &\geqq 1+\sum_{k = 1}^{n+1}x_k \quad \left(\because x_{n+1}\sum_{k = 1}^nx_k \geqq 0\right) \end{align*} となる.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $[2]$ が成り立つ.

問題

数学 II: 式と証明

問題≪ベルヌーイの不等式≫

 すべての正の整数 $n$ に対して, 次のことを示せ.
(1)
$(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
(2)
$\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n > 2$ が成り立つ.

解答例

(1)
二項定理により, \[ (1+x)^n = 1+nx+\cdots +x^n\] であり, $x > 0$ のとき $\cdots$ 以下の項は $0$ より大きいから, $(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
(2)
(1) の不等式に $x = \dfrac{1}{n}$ を代入すると, \[\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n > 1+n\cdot\frac{1}{n} = 2\] となる.

背景

 (1) の不等式は,「ベルヌーイの不等式」(Bernoulli's inequality)として有名である. (2) の結果から, $e = \lim\limits_{n \to \infty}\left (1+\dfrac{1}{n}\right) ^n \geqq 2$ であることがわかる(数学 III).