COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

ベルヌーイの不等式

ベルヌーイの不等式

定理≪ベルヌーイの不等式≫

(1)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x)^n \geqq 1+nx \quad (x \geqq -2) \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x_1)\cdots (1+x_n) \geqq 1+\sum_{k = 1}^nx_k\ (x_k \geqq 0) \quad \cdots [2]\] が成り立つ.
(3)
$r \leqq 0,$ $r \geqq 1$ なるすべての実数 $r$ に対して, \[ (1+x)^r \geqq 1+rx \quad (x > -1) \quad \cdots [3]\] が成り立つ.

証明

(1)
\begin{align*} A &= (1+x)^{n+1}-(1+x)^n \\ &\qquad -\{ 1+(n+1)x\} +(1+nx) \\ &= (1+x)^n(1+x-1)-x \\ &= (1+x)^nx-x \\ &= x\{ (1+x)^n-1\} \end{align*} は, $x > 0$ のとき正である. $-2 \leqq x \leqq 0$ のとき, $-1 \leqq 1+x \leqq 1$ つまり $|1+x| \leqq 1$ から, \[ (1+x)^n-1 \leqq 0\] であるので, $A \geqq 0$ が成り立つ. よって, $x \geqq -2$ のとき, \[ (1+x)^{n+1}-\{ 1+(n+1)x\} \geqq (1+x)^n-(1+nx)\] であるから, $(1+x)^1-(1+1\cdot x) = 0$ と数学的帰納法により $(1+x)^n \geqq 1+nx$ が成り立つ.
(2)
(i)
$(1+x_1)^1 = 1+x_1$ から, $n = 1$ のとき $[2]$ が成り立つ.
(ii)
与えられた正の整数 $n$ に対して $[2]$ が成り立つとする. $x_{n+1} \geqq 0$ のとき, $1+x_{n+1} \geqq 0$ であるから, $[1]$ の両辺に $1+x_{n+1}$ を掛けると, \begin{align*} &(1+x_1)\cdots (1+x_n)(1+x_{n+1}) \\ &\geqq \left( 1+\sum_{k = 1}^nx_k\right) (1+x_{n+1}) \\ &= 1+\sum_{k = 1}^nx_k+x_{n+1}+x_{n+1}\sum_{k = 1}^nx_k \\ &\geqq 1+\sum_{k = 1}^{n+1}x_k \quad \left(\because x_{n+1}\sum_{k = 1}^nx_k \geqq 0\right) \end{align*} となる.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $[2]$ が成り立つ.
(3)
$f(x) = (1+x)^r-(1+rx)$ とおく. このとき, \[ f'(x) = r(1+x)^{r-1}-r = r\{ (1+x)^{r-1}-1\}\] である.
(i)
$r < 0$ のとき. $x > -1$ において \begin{align*} f'(x) \geqq 0 &\iff (1+x)^{r-1}-1 \leqq 0 \\ &\iff (1+x)^{r-1} \leqq 1 \\ &\iff 1+x \geqq 1 \\ &\iff x \geqq 0, \\ f'(x) \leqq 0 &\iff -1 < x \leqq 0 \end{align*} が成り立つ. よって, $f(x)$ の $x > -1$ における最小値は $f(0) = 0$ であるから, $f(x) \geqq 0\ (x > -1)$ つまり $[3]$ が成り立つ.
(ii)
$r = 0$ のとき. $[3]$ の両辺は $0$ であるから, $[3]$ が成り立つ.
(iii)
$r = 1$ のとき. $[3]$ の両辺は $1+x$ であるから, $[3]$ が成り立つ.
(iii)
$r > 1$ のとき. $x > -1$ において \begin{align*} f'(x) \geqq 0 &\iff (1+x)^{r-1}-1 \geqq 0 \\ &\iff (1+x)^{r-1} \geqq 1 \\ &\iff 1+x \geqq 1 \\ &\iff x \geqq 0, \\ f'(x) \leqq 0 &\iff -1 < x \leqq 0 \end{align*} が成り立つ. よって, $f(x)$ の $x > -1$ における最小値は $f(0) = 0$ であるから, $f(x) \geqq 0\ (x > -1)$ つまり $[3]$ が成り立つ.

問題

数学 III: 関数と極限

問題≪ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価≫

 $n$ を $2$ 以上の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
$(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
(2)
$\dfrac{{}_n\mathrm C_k}{n^k} \leqq \dfrac{1}{2^{k-1}}$ $(1 \leqq k \leqq n)$ が成り立つ.
(3)
$2 \leqq e \leqq 3$ である.

解答例

 こちらを参照.

数学 III: 微分法

問題≪ベルヌーイの不等式の一般化と応用≫

 次のことを示せ.
(1)
$r$ を負の数とするとき, \[ (1+x)^r \geqq 1+rx \quad (x > -1) \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
$a_1\cdots a_n = 1$ を満たす $n$ 個の正の数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して \[ a_1+\cdots +a_n \geqq n \quad \cdots [2]\] が成り立つ.
(3)
正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して \[ x_1+\cdots +x_n \geqq n(x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \quad \cdots [3]\] が成り立つ.

解答例

 こちらを参照.