COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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二項定理

二項定理

定理≪二項定理≫

 すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (x+y)^n = \sum_{k = 0}^n{}_n\mathrm C_kx^{n-k}y^k\] が成り立つ.

証明

 左辺 $(x+y)^n = (x+y)\cdots (x+y)$ を展開すると, 各かっこ $(x+y)$ において $x,$ $y$ のいずれかを選んで掛け合わせることで $x^{n-k}y^k$ ($0 \leqq k \leqq n$)の形の項が得られ, 逆にこの形以外の項は出てこない. $x^{n-k}y^k$ の形の項は, $n$ 個のかっこのうち $k$ 個から $y$ を選ぶ方法の総数 ${}_n\mathrm C_k$ だけあるから, 同類項をまとめると求める等式が得られる.

問題≪ベルヌーイの不等式≫

 すべての正の整数 $n$ に対して, 次のことを示せ.
(1)
$(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
(2)
$\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n > 2$ が成り立つ.

解答例

(1)
二項定理により, \[ (1+x)^n = 1+nx+\cdots +x^n\] であり, $x > 0$ のとき $\cdots$ 以下の項は $0$ より大きいから, $(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
(2)
(1) の不等式に $x = \dfrac{1}{n}$ を代入すると, \[\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n > 1+n\cdot\frac{1}{n} = 2\] となる.

背景

  • (1) の不等式は,「ベルヌーイの不等式」(Bernoulli's inequality)として有名である.
  • (2) の結果から, $e = \lim\limits_{n \to \infty}\left (1+\dfrac{1}{n}\right) ^n \geqq 2$ であることがわかる(数学 III).