COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列

定義≪フィボナッチ数列, リュカ数列≫

(1)
初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ F_n\}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ.
(2)
初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ L_n\}:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.

定理≪ビネの公式≫

 フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ の一般項は \begin{align*} F_n &= \frac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}, \\ L_n &= \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n \end{align*} である.

証明

 フィボナッチ数列については, こちらを参照.

定理≪フィボナッチ数列の隣接項の比≫

 フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ について, \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\] が成り立つ.

証明

 $\alpha = \dfrac{1-\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ とおく. $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right| = \dfrac{\sqrt 5-1}{1+\sqrt 5} < 1$ であるから, ビネの公式により \begin{align*} \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{\beta ^n-\alpha ^n} = \frac{\beta -\alpha\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n}{1-\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n} \\ &\to \beta = \frac{1+\sqrt 5}{2} \quad (n \to \infty ) \end{align*} となる.
 リュカ数列についても同様である.

問題

数学 I: 数と式

問題≪リュカ数を表す対称式の値≫

 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について,
(1)
$\alpha +\beta,$ $\alpha\beta$
(2)
$\alpha ^2+\beta ^2$ 
(3)
$\alpha ^4+\beta ^4$ 
の値を求めよ.

解答例

(1)
$\alpha,$ $\beta$ の定義により, \begin{align*} \alpha +\beta &= \frac{1+\sqrt 5}{2}+\frac{1-\sqrt 5}{2} = 1, \\ \alpha\beta &= \frac{1+\sqrt 5}{2}\cdot\frac{1-\sqrt 5}{2} = \frac{1-5}{4} = -1 \end{align*} である.
(2)
(1) から, \begin{align*} \alpha ^2+\beta ^2 &= (\alpha +\beta )^2 -2\alpha\beta \\ &= 1^2-2\cdot (-1) = 3 \end{align*} である.
(3)
(1), (2) から, \begin{align*} \alpha ^4+\beta ^4 &= (\alpha ^2+\beta ^2)^2-2(\alpha\beta )^2 \\ &= 3^2-2\cdot (-1)^2 = 7 \end{align*} である.

背景

 $x^n+y^n$ のように, $x$ と $y$ を入れ替えても形が変わらない $x,$ $y$ の式を $x,$ $y$ の「対称式」と呼ぶ. $x,$ $y$ のすべての「対称式」は, $s = x+y,$ $t = xy$ の多項式として表されることが知られている.
 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数 $L_1,$ $L_2,$ $L_3,$ $\cdots,$ $L_n,$ $\cdots$ を「リュカ数」(Lucas number)と呼ぶ. 一般に, $L_n$ は \[ L_n = \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\] と表されることが知られている. 定義により $L_n$ は整数であり, 本問では $L_2,$ $L_4$ の値を求めた.

数学 B: 数列

問題≪フィボナッチ数列の一般項≫

 $1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく.
(1)
$F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ が成り立つことを示せ.
(2)
数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha < \beta )$ を $1$ 組求めよ.
(3)
数列 $\{ F_n\}$ の一般項を求めよ.

解答例

(1)
$n+2$ 段の階段を上るとき, 最後の $1$ 歩に着目すると, 次の $2$ つの場合が考えられる.
(i)
最後の $1$ 歩で $2$ 段上る場合. $n+2$ 段を上る方法は, $n$ 段の上り方 $F_n$ 通りだけある.
(ii)
最後の $1$ 歩で $1$ 段上る場合. $n+2$ 段を上る方法は, $n+1$ 段の上り方 $F_{n+1}$ 通りだけある.
(i), (ii) は排反であるから, \[ F_{n+2} = F_n+F_{n+1} \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列であるとき, \begin{align*} F_{n+2}-\alpha F_{n+1} &= \beta (F_{n+1}-\alpha F_n), \\ F_{n+2}-\beta F_{n+1} &= \alpha (F_{n+1}-\beta F_n) \end{align*} から \[ F_{n+2} = (\alpha +\beta )F_{n+1}-\alpha\beta F_n \quad \cdots [2]\] が成り立つ. $[1],$ $[2]$ から, \[\alpha +\beta = 1,\quad \alpha\beta = -1\] が成り立てばよい. このとき, $\alpha,$ $\beta$ は $2$ 次方程式 $x^2-x-1 = 0$ の解であるから, 条件を満たす $\alpha,$ $\beta$ の組として \[ (\alpha,\beta ) = \left(\frac{1-\sqrt 5}{2},\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)\] がとれる.
(3)
明らかに $F_1 = 1$ であり, $1$ 歩目は $1$ 段だけ上るという条件から $F_2 = 1$ である. よって, 数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ の初項は, それぞれ \begin{align*} F_2-\alpha F_1 = 1-\alpha &= \frac{1+\sqrt 5}{2} = \beta, \\ F_2-\beta F_1 = 1-\beta &= \frac{1-\sqrt 5}{2} = \alpha \end{align*} である. したがって, $\alpha,$ $\beta$ の取り方から, \begin{align*} F_{n+1}-\alpha F_n &= \beta ^n, \\ F_{n+1}-\beta F_n &= \alpha ^n \end{align*} が成り立つ. 辺々を引くと \[ (\beta -\alpha )F_n = \beta ^n-\alpha ^n\] となるので, $\beta -\alpha = \sqrt 5$ から \[ F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}\] が成り立つ.

背景

 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ F_n\}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] を「フィボナッチ数列」と呼ぶ. この数列の項は「フィボナッチ数」と呼ばれ, 花びらの枚数, 植物の種が並んでできるらせんの本数など, 自然界でよく見られる整数である.「フィボナッチ数列」は, 次の問題でも登場する: 先頭は動かないように, $2$ 番目以降は動かないか隣に移るように, $1$ 列に並んだ $n$ 人を並び替える方法の総数は $F_n$ である.
 数学 III の補足: $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right| = \dfrac{\sqrt 5-1}{1+\sqrt 5} < 1$ から \begin{align*} \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{\beta ^n-\alpha ^n} = \frac{\beta -\alpha\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n}{1-\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n} \\ &\to \beta = \frac{1+\sqrt 5}{2} \quad (n \to \infty ) \end{align*} であることもよく知られている.