COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列

定義≪フィボナッチ数列, リュカ数列≫

(1)
初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ F_n\}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ.
(2)
初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数列 \[\{ L_n\}:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.

定理≪ビネの公式≫

 フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ の一般項は \begin{align*} F_n &= \frac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}, \\ L_n &= \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n \end{align*} である.

証明

 フィボナッチ数列については, こちらを参照.

定理≪フィボナッチ数列の隣接項の比≫

 フィボナッチ数列 $\{ F_n\},$ リュカ数列 $\{ L_n\}$ について, \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\] が成り立つ.

証明

 $\alpha = \dfrac{1-\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ とおく. $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right| = \dfrac{\sqrt 5-1}{1+\sqrt 5} < 1$ であるから, ビネの公式により \begin{align*} \frac{F_{n+1}}{F_n} &= \frac{\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}}{\beta ^n-\alpha ^n} = \frac{\beta -\alpha\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n}{1-\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) ^n} \\ &\to \beta = \frac{1+\sqrt 5}{2} \quad (n \to \infty ) \end{align*} となる.
 リュカ数列についても同様である.

問題

数学 I: 数と式

問題≪リュカ数を表す対称式の値≫

 $\alpha = \dfrac{1+\sqrt 5}{2},$ $\beta = \dfrac{1-\sqrt 5}{2}$ について,
(1)
$\alpha +\beta,$ $\alpha\beta$
(2)
$\alpha ^2+\beta ^2$ 
(3)
$\alpha ^4+\beta ^4$ 
の値を求めよ.

解答例

 こちらを参照.

数学 B: 数列

問題≪フィボナッチ数列の一般項≫

 $1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく.
(1)
$F_{n+2} = F_n+F_{n+1}$ が成り立つことを示せ.
(2)
数列 $\{ F_{n+1}-\alpha F_n\},$ $\{ F_{n+1}-\beta F_n\}$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha < \beta )$ を $1$ 組求めよ.
(3)
数列 $\{ F_n\}$ の一般項を求めよ.

解答例

 こちらを参照.