COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ベクトルの基本

分点の位置ベクトル

定理≪分点の位置ベクトル≫

 $m,$ $n$ を正の数とする. 平面上の相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\vec a),$ $\mathrm B(\vec b)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm P(\vec p),$ 外分する点 $\mathrm Q(\vec q)$ の位置ベクトルは, それぞれ \[\vec p = \frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}, \quad \vec q = \frac{-n\vec a+m\vec b}{m-n}\] である.

問題≪重心座標と三角形の面積比≫

 $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ を正の数とする. 同一平面上にあり, どの $3$ 点も同一直線上にない $4$ 点 $\mathrm A(\vec a),$ $\mathrm B(\vec b),$ $\mathrm C(\vec c),$ $\mathrm P(\vec p)$ について, 次は同値であることを示せ.
(i)
$\alpha\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \vec 0$ が成り立つ.
(ii)
$\vec p = \dfrac{\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c}{\alpha +\beta +\gamma}$ である.
(iii)
$\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP} = \alpha :\beta :\gamma$ である.

解答例

 (i) $\iff$ (ii) は, \begin{align*} &\alpha\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \vec 0 \\ &\iff \alpha (\vec p-\vec a)+\beta (\vec p-\vec b)+\gamma (\vec p-\vec c) = \vec 0 \\ &\iff \vec p = \frac{\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c}{\alpha +\beta +\gamma} \end{align*} から従う.
 次に, (ii) $\Longrightarrow$ (iii) を示すため, (ii) を仮定する. \[\vec p = \frac{\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c}{\alpha +\beta +\gamma} = \frac{\alpha\vec a+(\gamma +\beta )\dfrac{\beta\vec b+\gamma\vec c}{\gamma +\beta}}{(\gamma +\beta )+\alpha}\] であるから, 線分 $\mathrm{BC}$ を $\gamma :\beta$ に内分する点を $\mathrm D$ とおくと, 点 $\mathrm P$ は線分 $\mathrm{AD}$ を $(\gamma +\beta ):\alpha$ に内分する点である.
したがって, $S = \triangle\mathrm{ABC}$ とおくと \begin{align*} \triangle\mathrm{BCP} &= \frac{\alpha}{(\gamma +\beta )+\alpha}S = \frac{\alpha}{\alpha +\beta +\gamma}S, \\ \triangle\mathrm{CAP} &= \frac{\gamma +\beta}{(\gamma +\beta )+\alpha}\triangle\mathrm{CAD} = \frac{\gamma +\beta}{(\gamma +\beta )+\alpha}\cdot\frac{\beta}{\gamma +\beta}S \\ &= \frac{\beta}{\alpha +\beta +\gamma}S, \\ \triangle\mathrm{ABP} &= \frac{\gamma +\beta}{(\gamma +\beta )+\alpha}\triangle\mathrm{ABD} = \frac{\gamma +\beta}{(\gamma +\beta )+\alpha}\cdot\frac{\gamma}{\gamma +\beta}S \\ &= \frac{\gamma}{\alpha +\beta +\gamma}S \end{align*} となるから, \[\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP} = \alpha :\beta :\gamma\] である.
 最後に, (iii) $\Longrightarrow$ (ii) を示すため, (iii) を仮定する. $\mathrm{AP},$ $\mathrm{BP},$ $\mathrm{CP}$ の延長と辺 $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CA},$ $\mathrm{AB}$ の交点をそれぞれ $\mathrm D,$ $\mathrm E,$ $\mathrm F$ とおき, \[\mathrm{BP}:\mathrm{PE} = s:(1-s), \quad \mathrm{CP}:\mathrm{PF} = t:(1-t)\] とおく.
このとき, \begin{align*} \mathrm{BD}:\mathrm{DC} &= \triangle\mathrm{ABP}:\triangle\mathrm{CAP} = \gamma :\beta, \\ \mathrm{CE}:\mathrm{EA} &= \triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{ABP} = \alpha :\gamma, \\ \mathrm{AF}:\mathrm{FB} &= \triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{BCP} = \beta :\alpha \end{align*} であるから, \begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{AP}} &= (1-s)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\overrightarrow{\mathrm{AE}} \\ &= (1-s)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\gamma s}{\gamma +\alpha}\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{AP}} &= (1-t)\overrightarrow{\mathrm{AC}}+t\overrightarrow{\mathrm{AF}} \\ &= \frac{\beta t}{\alpha +\beta}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AC}} \end{align*} が成り立つ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}},$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は $\vec 0$ でなく, 互いに平行でないから, \[ 1-s = \frac{\beta t}{\alpha +\beta}, \quad \frac{\gamma s}{\gamma +\alpha} = 1-t\] となり, \[ s = \frac{\gamma +\alpha}{\alpha +\beta +\gamma}, \quad t = \frac{\alpha +\beta}{\alpha +\beta +\gamma}\] となる. よって, \begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{AP}} &= \frac{\beta}{\alpha +\beta +\gamma}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\gamma}{\alpha +\beta +\gamma}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \\ \vec p-\vec a &= \frac{\beta}{\alpha +\beta +\gamma}(\vec b-\vec a)+\frac{\gamma}{\alpha +\beta +\gamma}(\vec c-\vec a) \end{align*} となるから, 整理すると \[\vec p = \frac{\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c}{\alpha +\beta +\gamma}\] が得られる.

背景

 本問の結果から, 面積比 \[\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP} = \alpha :\beta :\gamma\] を用いて $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm P$ を表すことができる. この面積比を表す実数の組 $(\alpha,\beta,\gamma )$ を点 $\mathrm P$ の「重心座標」(barycentric coordinates)または「面積座標」(area coordinates)と呼ぶ.

問題≪三角形の内心の位置ベクトル≫

 $\mathrm A(\vec a),$ $\mathrm B(\vec b),$ $\mathrm C(\vec c)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心 $\mathrm I(\vec i)$ の位置ベクトル $\vec i$ は, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ とおくとき, \[\vec i = \frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c}\] と表されることを示せ.

解答例

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $\angle\mathrm A$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm D(\vec d)$ とおく.
このとき, \[\mathrm{BD}:\mathrm{CD} = c:b\] であるから, \[\vec d = \frac{b\vec b+c\vec c}{c+b}\] が成り立つ. また, $\mathrm{BI}$ は $\angle\mathrm B$ の二等分線であるから, \[\mathrm{AI}:\mathrm{DI} = c:\frac{c}{c+b}a = (c+b):a\] であり, \begin{align*} \vec i &= \frac{a\vec a+(c+b)\vec d}{c+b+a} = \frac{a\vec a+(c+b)\dfrac{b\vec b+c\vec c}{c+b}}{c+b+a} \\ &= \frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c} \end{align*} が成り立つ.

別解

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とおくと \[\triangle\mathrm{IBC}:\triangle\mathrm{ICA}:\triangle\mathrm{IAB} = \frac{ar}{2}:\frac{br}{2}:\frac{cr}{2} = a:b:c\] となるから, 前問の結果により \[\vec i = \frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c}\] が成り立つ.