COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ベクトルの基本

分点の位置ベクトル

定理≪分点の位置ベクトル≫

 $m,$ $n$ を正の数とする. 平面上の相異なる $2$ 点 $\mathrm A(\vec a),$ $\mathrm B(\vec b)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm P(\vec p),$ 外分する点 $\mathrm Q(\vec q)$ の位置ベクトルは, それぞれ \[\vec p = \frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}, \quad \vec q = \frac{-n\vec a+m\vec b}{m-n}\] である.

問題≪重心座標と三角形の面積比≫

 $a,$ $b,$ $c$ を正の数とする. 平面上の $\triangle\mathrm{ABC}$ と点 $\mathrm P$ に対して $a\overrightarrow{\mathrm{AP}}+b\overrightarrow{\mathrm{BP}}+c\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \vec 0$ が成り立つとき, $a,$ $b,$ $c$ を用いて三角形の面積比 $\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP}$ を表せ.

解答例

 任意の点 $\mathrm O$ を基点として $\mathrm A(\vec a),$ $\mathrm B(\vec b),$ $\mathrm C(\vec c),$ $\mathrm P(\vec p)$ とおく.
このとき, $a\overrightarrow{\mathrm{AP}}+b\overrightarrow{\mathrm{BP}}+c\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \vec 0$ は \[ a(\vec p-\vec a)+b(\vec p-\vec b)+c(\vec p-\vec c) = \vec 0\] と変形できるから, \[\vec p = \frac{a\vec a+b\vec b+c\vec c}{a+b+c} = \frac{a\vec a+(c+b)\dfrac{b\vec b+c\vec c}{c+b}}{(c+b)+a}\] となる. よって, 線分 $\mathrm{BC}$ を $c:b$ に内分する点を $\mathrm Q$ とおくと, 点 $\mathrm P$ は線分 $\mathrm{AQ}$ を $(c+b):a$ に内分する点である.
したがって, $S = \triangle\mathrm{ABC}$ とおくと \begin{align*} \triangle\mathrm{BCP} &= \frac{a}{(c+b)+a}S = \frac{a}{a+b+c}S, \\ \triangle\mathrm{CAP} &= \frac{c+b}{(c+b)+a}\triangle\mathrm{CAQ} = \frac{c+b}{(c+b)+a}\cdot\frac{b}{c+b}S \\ &= \frac{b}{a+b+c}S, \\ \triangle\mathrm{ABP} &= \frac{c+b}{(c+b)+a}\triangle\mathrm{ABQ} = \frac{c+b}{(c+b)+a}\cdot\frac{c}{c+b}S \\ &= \frac{c}{a+b+c}S \end{align*} となるから, \[\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP} = a:b:c\] である.

背景

 上記の議論とその逆をたどる議論から, \begin{align*} &a\overrightarrow{\mathrm{AP}}+b\overrightarrow{\mathrm{BP}}+c\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \vec 0 \\ &\iff \triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP} = a:b:c \end{align*} の成り立つことがわかる. よって, 面積比 \[\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{ABP} = a:b:c\] を用いて $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm P$ を表すことができる. この面積比を表す実数の組 $(a,b,c)$ を点 $\mathrm P$ の「重心座標」(barycentric coordinates)または「面積座標」(area coordinates)と呼ぶ.