$3$ 次式の展開・因数分解
$3$ 次式の因数分解
定理《$3$ 次式の因数分解》
\[\begin{aligned}
x^3+y^3 &= (x+y)(x^2-xy+y^2), \\
x^3-y^3 &= (x-y)(x^2+xy+y^2)
\end{aligned}\]
が成り立つ.
問題《$3$ 次対称式の因数分解》
$x^3+y^3+z^3-3xyz$ を因数分解せよ.
解答例
$a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b)$ を繰り返し使うと,
\[\begin{aligned}
&x^3+y^3+z^3-3xyz \\
&= (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \\
&= (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z) \\
&= (x\!+\!y\!+\!z)^3\!-\!3(x\!+\!y)z(x\!+\!y\!+\!z)\!-\!3xy(x\!+\!y\!+\!z) \\
&= (x+y+z)\{ (x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy\} \\
&= (x+y+z) \\
&\quad \times (x^2\!+\!y^2\!+\!z^2\!+\!2xy\!+\!2yz\!+\!2zx\!-\!3xy\!-\!3yz\!-\!3zx) \\
&= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
\end{aligned}\]
が得られる.
参考
本問の因数分解を複素数の範囲まで進めると, $\omega$ を $1$ の虚数立方根の $1$ つとして,
\[\begin{aligned}
&x^3+y^3+z^3-3xyz \\
&= (x+y+z)(x+\omega y+\omega ^2z)(x+\omega ^2y+\omega z)
\end{aligned}\]
となる (こちらを参照).
この因数分解は, $3$ 次方程式の「オイラーの解法」に利用される.
例えば, $3$ 次方程式 $x^3-x-1 = 0$ は, 上記の式で
\[ -3yz = -1, \quad y^3+z^3 = -1\] と見ると, 左辺が
\[ x^3-x-1 = (x+y+z)(x+\omega y+\omega ^2z)(x+\omega ^2y+\omega z)\]
と因数分解できるから,
実数係数の $3$ 次方程式が少なくとも $1$ つの実数解をもつことに注意すると,
連立方程式
\[ y^3+z^3 = -1, \quad y^3z^3 = \dfrac{1}{27}\]
の実数解 $y,$ $z$ が求まれば解ける.
$y^3,$ $z^3$ は $2$ 次方程式
\[ s^2+s+\frac{1}{27} = 0\]
の $2$ 解
\[ s = -\frac{1}{2}\left( 1\pm\sqrt{1-\frac{4}{27}}\right) = -\left(\frac{1}{2}\pm\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}\right)\]
であり,
\[\{ y,z\} = \left\{ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}},-\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\right\}\]
であるので, $x^3-x-1 = 0$ の解は,
\[ x = -y-z,\ -y\omega -z\omega ^2,\ -y\omega ^2-z\omega\]
から,
\[\begin{aligned}
x = & \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}, \\
&\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega +\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega ^2, \\
&\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega ^2+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega
\end{aligned}\]
である.
なお, $t = -s$ とおくと,「カルダーノの解法」と同じ補助方程式 $t^2-t+\dfrac{1}{27}= 0$ が現れる (こちらを参照).
問題《タクシー数にまつわる方程式》
実数 $x,$ $y$ に対して, $a = x+y,$ $b = x^2-xy+y^2$ とおく.
- (1)
- $a,$ $b$ を用いて $x$ を表せ.
- (2)
- $x^3+y^3 = 1729$ のとき, $a,$ $b > 0$ であることを示せ.
- (3)
- $x^3+y^3 = 1729$ の整数解をすべて求めよ.
(参考: $2009$ 一橋大)
解答例
- (1)
- $y = a-x$ を $x^2-xy+y^2 = b$ に代入して整理すると \[ 3x^2-3ax+a^2-b = 0\] となるから, $2$ 次方程式の解の公式により, $x$ は \[\begin{aligned} x &= \frac{3a\pm\sqrt{9a^2-12(a^2-b)}}{6} \\ &= \frac{3a\pm\sqrt{12b-3a^2}}{6} \quad \cdots [1] \end{aligned}\] と表される.
- (2)
- $x^3+y^3 = 1729$ であるとする.
$[1]$ は実数であるから,
$12b-3a^2 \geqq 0$ よって $b \geqq \dfrac{a^2}{4} \geqq 0$である. 一方, \[ ab = (x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3 = 1729\] であるから, $a,$ $b > 0$ である.
- (3)
- 整数 $x,$ $y$ が $x^3+y^3 = 1729$ を満たすとする. $[2]$ と \[ 1729 = 7\cdot 13\cdot 19\] から, \[ ab = 7\cdot 13\cdot 19\] が成り立つ. $a,$ $b$ は正の整数であるから, \[\begin{aligned} (a,b) = &(1,1729),\ (7,13\cdot 19),\ (13,7\cdot 19),\ (19,7\cdot 13),\\ &(7\cdot 13,19),\ (7\cdot 19,13),\ (13\cdot 19,7),\ (1729,1) \end{aligned}\] が成り立つ. このうち, $[1]$ が整数となるのは \[ (a,b) = (13,7\cdot 19),\ (19,7\cdot 13)\] の場合に限り, このとき \[ (x,y) = (1,12),\ (9,10),\ (10,9),\ (12,1)\] である.
参考
- $1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$ は $2$ 通りの立方数の和として表される最小の正の整数である. インドの魔術師という異名をもつ数学者 S・ラマヌジャンは療養中, G・H・ハーディーが見舞いに訪れた際に, “乗ってきたタクシーの番号は $1729$ だった. さして特徴のない数字だったよ”というハーディーに対して, すぐさま “そんなことはありません, とても興味深い数字です. それは $2$ つの立方数の和として $2$ 通りに表せる最小の数です” と答えたという. この逸話にちなんで, $1729$ は「ハーディー=ラマヌジャンのタクシー数」(Hardy–Ramanujan taxicab number) と呼ばれる.
- 本問の結果から, $1729$ は $3$ 通り以上の $2$ つの立方数の和としては表せないことがわかる.