COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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チェバの定理・メネラウスの定理

チェバの定理

問題≪三角形の垂心≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ つの頂点からそれぞれの対辺に下ろした $3$ 本の垂線は $1$ 点で交わることを示せ.

解答例

(i)
$\triangle\mathrm{ABC}$ が直角三角形のとき. $3$ 本の垂線は,直角の頂点で交わる.
(ii)
$\triangle\mathrm{ABC}$ が直角三角形でないとき. 頂点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ から直線 $\mathrm{BC},$ $\mathrm{CA},$ $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm D,$ $\mathrm E,$ $\mathrm F$ とおく. このとき, $\triangle\mathrm{ABE}$ と $\triangle\mathrm{ACF}$ は相似であるから, $\dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AE}} = \dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$ が成り立つ. 同様に $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BF}} = \dfrac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BC}},$ $\dfrac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CD}} = \dfrac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}}$ であるから, \begin{align*} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} &= \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AE}}\cdot\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BF}}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CD}} \\ &= \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\cdot\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BC}}\cdot\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}} = 1 \end{align*} が成り立つ. チェバの定理の逆により, 直線 $\mathrm{AD},$ $\mathrm{BE},$ $\mathrm{CF}$ は $1$ 点で交わる.
(i), (ii) から, 題意が示された.
 座標を使った別解については, こちらを参照されたい.