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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式

定理≪チェビシェフ多項式の存在≫

 $n$ を正の整数とする.
(1)
$\cos n\theta$ はある整数係数 $n$ 次多項式 $T_n(x)$ を用いて $\cos n\theta = T_n(\cos\theta )$ と表すことができる.
(2)
$\sin n\theta$ はある整数係数 $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ を用いて $\sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta$ と表すことができる.

解答例

 こちらを参照.

定義≪チェビシェフ多項式≫

 (1) の多項式 $T_n(x)$ を第一種チェビシェフ多項式, (2) の多項式 $U_n(x)$ を第二種チェビシェフ多項式と呼び, これらをあわせてチェビシェフ多項式(Chebyshev polynomial)と呼ぶ.

例≪チェビシェフ多項式≫

 チェビシェフ多項式を次数の低い順に書き出していくと, 次のようになる. \begin{align*} T_1(x) &= x, & \!\!\!\!\!\!U_1(x) &= 1, \\ T_2(x) &= 2x^2-1, & \!\!\!\!\!\!U_2(x) &= 2x, \\ T_3(x) &= 4x^3-3x, & \!\!\!\!\!\!U_3(x) &= 4x^2-1, \\ T_4(x) &= 8x^4-8x^2+1, & \!\!\!\!\!\!U_4(x) &= 8x^3-4x, \\ T_5(x) &= 16x^5-20x^3+5x, & \!\!\!\!\!\!U_5(x) &= 16x^4-12x^2+1, \\ \vdots\quad& & \vdots\quad& \end{align*}

問題

数学 II: 三角関数

問題≪正七角形調和≫

 正七角形 $\mathrm{ABCDEFG}$ において $a = \mathrm{GA},$ $b = \mathrm{GB},$ $c = \mathrm{GC}$ とおき, $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ とおく.
(1)
$\triangle\mathrm{GAB}$ と $\triangle\mathrm{GBC}$ に着目して, $b = 2a\cos\theta$ と $c = a(4\cos ^2\theta -1)$ を示せ.
(2)
$\sin 3\theta$ と $\sin 4\theta$ を $\cos\theta$ の多項式と $\sin\theta$ の積の形に表せ.
(3)
$\cos\theta$ を解に持つ $3$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(4)
$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
$\triangle\mathrm{GAB}$ は頂角が $\dfrac{5\pi}{7},$ 底角が $\theta = \dfrac{\pi}{7}$ の二等辺三角形であるから, \[ b = \mathrm{GB} = 2\mathrm{GA}\cos\angle\mathrm{AGB} = 2a\cos\theta \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
等脚台形 $\mathrm{ABCG}$ に着目すると, $\angle\mathrm{BGC} = \angle\mathrm{ABG} = \theta,$ $\angle\mathrm{BCG} = \angle\mathrm{AGC} = \angle\mathrm{AGB}+\angle\mathrm{BGC} = 2\theta$ がわかる. 点 $\mathrm B$ から $\mathrm{GC}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, \begin{align*} c &= \mathrm{GC} = \mathrm{GH}+\mathrm{HC} \\ &= \mathrm{GB}\cos\angle\mathrm{BGC}+\mathrm{BC}\cos\angle\mathrm{BCG} \\ &= b\cos\theta +a\cos 2\theta \\ &= 2a\cos ^2\theta +a(2\cos ^2\theta -1) \\ &= a(4\cos ^2\theta -1) \quad \cdots [2] \end{align*} となる.
(2)
加法定理と $2$ 倍角の公式により, \begin{align*} \sin 3\theta &= \sin (2\theta +\theta ) = \sin 2\theta\cos\theta +\cos 2\theta\sin\theta \\ &= (2\sin\theta\cos\theta )\cos\theta +(2\cos ^2\theta -1)\sin\theta \\ &= (4\cos ^2\theta -1)\sin\theta \quad \cdots [3], \\ \sin 4\theta &= \sin 2(2\theta ) = 2\sin 2\theta\cos 2\theta \\ &= 2(2\sin\theta\cos\theta )(2\cos ^2\theta -1) \\ &= (8\cos ^3\theta -4\cos\theta )\sin\theta \quad \cdots [4] \end{align*} が成り立つ.
(3)
$\theta = \dfrac{\pi}{7}$ から $3\theta +4\theta = \pi$ であるので, \[\sin 4\theta = \sin 3\theta\] が成り立つ. ここに $[3]$ と $[4]$ を代入して整理すると \[ (8\cos ^3\theta -4\cos ^2\theta -4\cos\theta +1)\sin\theta = 0\] となり, $\sin\theta \neq 0$ から \[ 8\cos ^3\theta -4\cos ^2\theta -4\cos\theta +1 = 0 \quad \cdots [5]\] となる. $\cos\theta$ を解に持つ $3$ 次方程式 $8x^3-4x^2-4x+1 = 0$ が得られた.
(4)
$a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ を示すには, $bc = ca+ab$ を示せばよい. $ab-bc+ca$ に $[1],$ $[2]$ を代入して整理すると, $[5]$ から \begin{align*} ab-bc+ca &= -a^2(8\cos ^3\theta -4\cos ^2\theta -4\cos\theta +1) \\ &= 0 \end{align*} となり, 求める結果が得られる.

別解

(4)
四角形 $\mathrm{BCDG}$ は円に内接するから, トレミーの定理により, \[\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CG} = \mathrm{BC}\cdot\mathrm{DG}+\mathrm{CD}\cdot\mathrm{GB}\] つまり \[ bc = ac+ab\] が成り立つ.
両辺を $abc$ で割ると, 求める結果が得られる.

背景

\begin{align*} \cos 2\theta &= 2\cos ^2\theta -1, & \!\!\!\!\!\!\sin 2\theta &= (2\cos\theta )\sin\theta, \\ \cos 3\theta &= 4\cos ^3\theta -3\cos\theta, & \!\!\!\!\!\!\sin 3\theta &= (4\cos ^2\theta -1)\sin\theta \end{align*} のように, 各正の整数 $n$ に対し, $\cos n\theta$ はある $n$ 次多項式 $T_n(x)$ を用いて $\cos n\theta = T_n(\cos\theta )$ と表せ, $\sin n\theta$ はある $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ を用いて $\sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta$ と表せることが知られている. $T_n(x),$ $U_n(x)$ は, それぞれ「第一種チェビシェフ多項式」,「第二種チェビシェフ多項式」と呼ばれ, あわせて「チェビシェフ多項式」(Chebyshev polynomial)と呼ばれる.
 正七角形の $1$ 辺の長さ $a$ と対角線の長さ $b,$ $c$ に関する関係式 $a^{-1} = b^{-1}+c^{-1}$ は「正七角形調和」と呼ばれる.

融合問題

問題≪チェビシェフ多項式の存在≫

 $n$ を正の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
すべての実数 $\theta$ に対して \[\begin{cases} \cos n\theta = T_n(\cos\theta ) & \cdots [1], \\ \sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta & \cdots [2] \end{cases}\] を満たす整数係数 $n$ 次多項式 $T_n(x)$ と整数係数 $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ が存在する.
(2)
$T_n{}'(x) = nU_n(x)$ が成り立つ.
[1996 京都大*]

解答例

(1)
題意を示す代わりに, より強い命題
「(1) かつ $T_n(x),$ $U_n(x)$ の最高次の項の係数は正」$\cdots$(1)'
を数学的帰納法で示す.
(i)
$n = 1$ のとき. $T_1(x) = x,$ $U_1(x) = 1$ は (1)' を満たす.
(ii)
$n = k$ ($k$: 正の整数)のとき, (1)' が成り立つとする.
このとき, \begin{align*} &\cos (k+1)\theta = \cos (k\theta +\theta ) \\ &= \cos k\theta\cos\theta -\sin k\theta\sin\theta \\ &= T_k(\cos\theta )\cos\theta -U_k(\cos\theta )\sin ^2\theta \\ &= T_k(\cos\theta )\cos\theta +U_k(\cos\theta )(\cos ^2\theta -1), \\ &\sin (k+1)\theta = \sin (k\theta +\theta ) \\ &= \sin k\theta\cos\theta +\cos k\theta\sin\theta \\ &= U_k(\cos\theta )\sin\theta\cos\theta +T_k(\cos\theta )\sin\theta \\ &= \{ U_k(\cos\theta )\cos\theta +T_k(\cos\theta )\}\sin\theta \end{align*} から, \begin{align*} T_{k+1}(x) &= T_k(x)x+U_k(x)(x^2-1), \\ U_{k+1}(x) &= U_k(x)x+T_k(x) \end{align*} は $n = k+1$ の場合の $[1]$ と $[2]$ を満たす. また, $T_k(x)$ と $U_k(x)$ は整数係数であるから, $T_{k+1}(x)$ と $U_{k+1}(x)$ も整数係数である. さらに, $T_k(x)$ の $x^k$ の係数と $U_k(x)$ の $x^{k-1}$ の係数は正であるから, $T_{k+1}(x)$ の $x^{k+1}$ の係数と $U_{k+1}(x)$ の $x^k$ の係数は正であり, $T_{k+1}(x)$ は $k+1$ 次で $U_{k+1}(x)$ は $k$ 次である.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して, (1)' が成り立つので, (1) が成り立つ.
(2)
$[1]$ の両辺を $\theta$ で微分すると, \[ -n\sin n\theta = -T_n{}'(\cos\theta )\sin\theta\] となる. $[2]$ を代入すると, \[ T_n{}'(\cos\theta )\sin\theta = nU_n(\cos\theta )\sin\theta\] を得る. よって, $\sin\theta \neq 0$ なるすべての実数 $\theta$ に対し, したがって $\cos\theta$ の相異なる $n$ 個の値に対して \[ T_n{}'(\cos\theta ) = nU_n(\cos\theta )\] が成り立つ. $T_n{}'(x)$ と $nU_n(x)$ は $n-1$ 次多項式であるから, $T_n{}'(x) = nU_n(x)$ が成り立つ.

別解 1

(1)
$c = \cos\theta,$ $s = \sin\theta$ とおく. ド・モアブルの定理と二項定理により, \begin{align*} &\cos n\theta +i\sin n\theta = (c+si)^n \\ &= \sum_{k = 0}^n{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(si)^k \\ &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(si)^k \\ &\qquad +\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(si)^k \\ &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(-s^2)^{\frac{k}{2}} \\ &\qquad +\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(-s^2)^{\frac{k-1}{2}}(si) \\ &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k}{2}} \\ &\qquad +is\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k-1}{2}} \end{align*} が成り立つ. ここで, 右辺の和の記号は, それぞれ $0 \leqq k \leqq n$ なるすべての偶数, 奇数 $k$ にわたる和を表す. 両辺の実部, 虚部をそれぞれ比較すると, \begin{align*} \cos n\theta &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k}{2}}, \\ \sin n\theta &= s\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kc^{n-k}(c^2-1)^{\frac{k-1}{2}} \end{align*} となる. よって, 多項式 \begin{align*} T_n(x) &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kx^{n-k}(x^2-1)^{\frac{k}{2}},\\ U_n(x) &= \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kx^{n-k}(x^2-1)^{\frac{k-1}{2}} \end{align*} は $\cos n\theta = T_n(\cos\theta ),$ $\sin n\theta = U_n(\cos\theta )\sin\theta$ を満たす. $T_n(x),$ $U_n(x)$ の最高次の項はそれぞれ \[\sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{偶数}}{}_n\mathrm C_kx^n, \quad \sum_{0 \leqq k \leqq n,\,k:\text{奇数}}{}_n\mathrm C_kx^{n-1}\] に等しいので, $T_n(x)$ は $n$ 次, $U_n(x)$ は $n-1$ 次の整数係数多項式である.

別解 2

(1)
加法定理により \begin{align*} \cos (n+2)\theta &= \cos (n+1)\theta\cos\theta -\sin (n+1)\theta\sin\theta, \\ \cos n\theta &= \cos (n+1)\theta\cos\theta +\sin (n+1)\theta\sin\theta, \\ \sin (n+2)\theta &= \sin (n+1)\theta\cos\theta -\cos (n+1)\theta\sin\theta, \\ \sin n\theta &= \sin (n+1)\theta\cos\theta +\cos (n+1)\theta\sin\theta \end{align*} から \begin{align*} \cos (n+2)\theta &= 2\cos (n+1)\theta\cos\theta -\cos n\theta, \\ \sin (n+2)\theta &= 2\sin (n+1)\theta\cos\theta -\sin n\theta \end{align*} が成り立つ. そこで, 初期条件 $T_1(x) = x,$ $T_2(x) = 2x^2-1,$ $U_1(x) = 1,$ $U_2(x) = 2x$ と漸化式 $T_{n+2}(x) = 2T_{n+1}(x)x-T_n(x),$ $U_{n+2}(x) = 2U_{n+1}(x)x-U_n(x)$ によって $n$ 次多項式 $T_n(x),$ $n-1$ 次多項式 $U_n(x)$ を順次定めると, $[1],$ $[2]$ を満たす整数係数多項式が得られる.