COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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円周の方程式

定理≪円周の方程式≫

 点 $(a,b)$ を中心とする半径 $r$ の円周の方程式は, \[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\] である.

円の接線

定理≪円の接線≫

 点 $(a,b)$ を中心とする半径 $r$ の円の周上の点 $(x_0,y_0)$ における接線の方程式は, \[ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b) = r^2\] である.

問題≪円の極線≫

 原点を中心とする半径 $r$ の円を $C$ とし, 円 $C$ の外部の点 $(p,q)$ から円 $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $\mathrm T_1,$ $\mathrm T_2$ とおく.
(1)
直線 $\mathrm T_1\mathrm T_2$ の方程式は \[ px+qy = r^2\] であることを示せ.
(2)
直線 $\mathrm T_1\mathrm T_2$ 上にある円 $C$ の外部の点 $(p',q')$ から円 $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点 $\mathrm T'_1,$ $\mathrm T'_2$ を通る直線は点 $(p,q)$ を通ることを示せ.

解答例

(1)
$\mathrm T_1(x_1,y_1),$ $\mathrm T_2(x_2,y_2)$ とおく. このとき, 点 $\mathrm T_1,$ $\mathrm T_2$ における接線の方程式は, \[ x_1x+y_1y = r^2, \quad x_2x+y_2y = r^2\] である. これらの直線は点 $(p,q)$ を通るから, \[ px_1+qy_1 = r^2, \quad px_2+qy_2 = r^2\] が成り立つ. これは, 点 $\mathrm T_1,$ $\mathrm T_2$ が直線 $px+qy = r^2$ の上にあることを意味している. ゆえに, 直線 $\mathrm T_1\mathrm T_2$ の方程式は, \[ px+qy = r^2\] である.
(2)
(1) の結果から, 直線 $\mathrm T'_1\mathrm T'_2$ の方程式は $p'x+q'y = r^2$ である. 点 $(p',q')$ は直線 $\mathrm T_1\mathrm T_2,$ つまり $px+qy = r^2$ 上にあるから,
$pp'+qq' = r^2$ つまり $p'p+q'q = r^2$
が成り立つ. これは, 点 $(p,q)$ が直線 $\mathrm T'_1\mathrm T'_2$ 上にあることを意味している.

背景

 直線 $\mathrm T_1\mathrm T_2$ を点 $(p,q)$ に関する円の極線(polar line, polar)と呼び, 点 $(p,q)$ をその(pole)と呼ぶ.