全事象 $U$ をもとにした確率に置き換えて考えると, \[ P_A(B) = \frac{n(A\cap B)}{n(A)} = \frac{\dfrac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\dfrac{n(A)}{n(U)}}= \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\] が得られる.

(A)

$k$ 番目までにくじを引く場合の数は, ${}_n\mathrm P_k$ 通りである. $k$ 番目に当たりを引くとき, $k$ 番目のくじの引き方が $r$ 通りあり, $1$ 番目から $k-1$ 番目までのくじの引き方が ${}_{n-1}\mathrm P_{k-1}$ 通りあるから, $k$ 番目に当たりを引く場合の数は $r{}_{n-1}\mathrm P_{k-1}$ 通りである. ゆえに, $k$ 番目に当たりを引く確率は, \[\frac{r{}_{n-1}\mathrm P_{k-1}}{{}_n\mathrm P_k} = \frac{r(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)} = \frac{r}{n}\] である.

(B)

$k$ 番目にくじを引くとき, $n-k+1$ 本だけくじが残っているから, 当たりを引く確率は \[ p_k = \dfrac{a}{n-k+1} \quad \cdots [1]\] である. また, $k+1$ 番目で当たりを引くのは,

(i)

$k$ 番目で当たりを引き, $a-1$ 本だけ当たりを含む残り $n-k$ 本から当たり $a-1$ 本の $1$ つを引く

(ii)

$k$ 番目ではずれを引き, $a$ 本だけ当たりを含む残り $n-k$ 本から当たり $a$ 本の $1$ つを引く

の $2$ つの場合があり, これらの事象は互いに排反であるから, \[\begin{aligned} p_{k+1} &= p_k\cdot\frac{a-1}{n-k}+(1-p_k)\cdot\frac{a}{n-k} \\ &= \frac{a}{n-k}-p_k\cdot\frac{1}{n-k} \\ &= \frac{1}{n-k}(a-p_k) \quad \cdots [2] \end{aligned}\] が成り立つ. よって, $[1]$ を $[2]$ に代入すると, \[\begin{aligned} p_{k+1} &= \frac{1}{n-k}\left( a-\frac{a}{n-k+1}\right) \quad (\because [1]) \\ &= \frac{a}{n-k}\cdot\frac{(n-k+1)-1}{n-k+1} \\ &= \frac{a}{n-k+1} \\ &= p_k \quad (\because [1]) \end{aligned}\] が得られる. ゆえに, \[ p_k = p_{k-1} = \cdots = p_1 = \frac{r}{n}\] である.

　$n \geqq 2$ のとき, ちょうど $n$ 回目で $1$ 位から $3$ 位までの順位が決まるのは, $1 \leqq k \leqq n-1$ なるある整数 $k$ に対して, 次の条件が成り立つ場合である.

• $1$ 回目から $k-1$ 回目まで $3$ 人があいこである.
• $k$ 回目に $3$ 人があいこにならない.
• $k+1$ 回目から $n-1$ 回目まで残った $2$ 人があいこである.
• $n$ 回目に残った $2$ 人があいこにならない.

ここで, $3$ 人のじゃんけんであいこになる確率は $\dfrac{3+3!}{3^3} = \dfrac{1}{3},$ $2$ 人のじゃんけんであいこになる確率は $\dfrac{3}{3^2} = \dfrac{1}{3}$ である. $3$ 人から $2$ 人になるまでのじゃんけんの回数 $k$ の値のとり方が $n-1$ 通りあり, そのそれぞれの確率が \[\left(\frac{1}{3}\right) ^{k-1}\left( 1-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) ^{n-k-1}\left( 1-\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3^n}\] であるから, \[ p_n = \frac{4(n-1)}{3^n}\] である. $p_1 = 0$ であるから, これは $n = 1$ のときにも成り立つ.

(1)

$p_1 = \dfrac{a}{a+b}\ \cdots [1]$ であるから, \[\begin{aligned} p_2 &= p_1\cdot\frac{a+c}{a+b+c}+(1-p_1)\cdot\frac{a}{a+b+c} \\ &= \frac{a}{a+b}\cdot\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b}\cdot\frac{a}{a+b+c} \\ &= \frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+b+c)} = \frac{a}{a+b} \quad \cdots[2] \end{aligned}\] である.

(2)

$[1],$ $[2]$ から, \[ p_n = \frac{a}{a+b} \quad \cdots [*]\] であると推測できる. これを数学的帰納法で示す.

(i)

$n = 1$ のとき. $[1]$ から, $[*]$ が成り立つ.

(ii)

$n = k$ ($k$: 正の整数) のとき $[*]$ が成り立つとする. また, $k$ 回目の試行を行う直前の壺の中にある白玉の個数を $x,$ 黒玉の個数を $y$ とおく. $k$ 回目に取り出す玉の色で場合に分けて考えると, \[\begin{aligned} p_{k+1} &= p_k\cdot\frac{x+c}{x+y+c}+(1-p_k)\cdot\frac{x}{x+y+c} \\ &= \frac{x}{x+y}\cdot\frac{x+c}{x+y+c}+\frac{y}{x+y}\cdot\frac{x}{x+y+c} \\ &= \frac{x(x+y+c)}{(x+y)(x+y+c)} = \frac{x}{x+y} \\ &= p_k = \frac{a}{a+b} \end{aligned}\] が得られる. よって, $n = k+1$ のとき $[*]$ が成り立つ.

以上から, すべての正の整数 $n$ に対して $p_n = \dfrac{a}{a+b}$ が成り立つ.

(1)

B が当たりを引くのは,

(i)

A が当たりを引き, $r-1$ 本だけ当たりを含む残り $n-1$ 本から当たりを引く

(ii)

A がはずれを引き, $r$ 本だけ当たりを含む残り $n-1$ 本から当たりを引く

の $2$ つの場合があり, これらの事象は互いに排反であるから, \[\begin{aligned} P(B) &= P(A\cap B)+P(\bar A\cap B) \\ &= P(A)P_A(B)+P(\bar A)P_{\bar A}(B) \\ &= \frac{r}{n}\cdot\frac{r-1}{n-1}+\frac{n-r}{n}\cdot\frac{r}{n-1} \\ &= \frac{r(r-1+n-r)}{n(n-1)} = \frac{r}{n} = P(A) \end{aligned}\] が成り立つ.

(2)

確率の乗法定理と (1) の結果から, \[\begin{aligned} P_B(A) &= \frac{P(B\cap A)}{P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \\ &= \frac{P(A)P_A(B)}{P(A)} = P_A(B) \end{aligned}\] が成り立つ.

　ドア A, B, C の向こうに賞品がある事象をそれぞれ $A,$ $B,$ $C$ とおく. 賞品は無作為に隠されているから, \[ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}\] である. 挑戦者が A を選んだとき, 司会者が C を開けるという事象を $E$ とおく.

(1)

• A が当たりのとき司会者は C の他に B も開けることができるから, $P_A(E) = \dfrac{1}{2}$ であり, \[ P(A\cap E) = P(A)P_A(E) = \frac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \frac{1}{6} \quad \cdots [1]\] である.
• B が当たりのとき司会者は C を開けるしかないから, $P_B(E) = 1$ であり, \[ P(B\cap E) = P(B)P_B(E) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3} \quad \cdots [2]\] である.
• C が当たりのとき司会者は C を開けることはないから, $P_C(E) = 0$ であり, \[ P(C\cap E) = P(C)P_C(E) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0\] である.

よって, 求める確率は, \[\begin{aligned} P(E) &= P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E) \\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+0 = \frac{1}{2} \end{aligned}\] である.

(2)

• 司会者が C を開けたとき A が当たりである条件付き確率は, $[1]$ から, \[ P_E(A) = \frac{P(A\cap E)}{P(E)} = \frac{1}{6}\div\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\] である.
• 司会者が C を開けたとき B が当たりである条件付き確率は, $[2]$ から, \[ P_E(B) = \frac{P(B\cap E)}{P(E)} = \frac{1}{3}\div\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\] である.

$P_E(A) < P_E(B)$ であるから, ドアを変更する方が賞品を得る確率が高い.