COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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条件付き確率

条件付き確率

問題≪モンティ・ホール問題≫

 $3$ つのドア A, B, C のうち, いずれか $1$ つのドアの向こうに賞品が無作為に隠されている. 挑戦者はドアを $1$ つだけ開けて, 賞品があれば, それをもらうことができる. 挑戦者がドアを選んでからドアを開けるまでの間に, 司会者は残った $2$ つのドアのうち, はずれのドアを $1$ つ無作為に開ける. このとき, 挑戦者は開けるドアを変更することができる.
(1)
挑戦者がドア A を選んだとき, 司会者がドア C を開ける確率を求めよ.
(2)
ドアを変更するとき, しないときでは, 賞品を得る確率が高いのはどちらか.

解答例

 ドア A, B, C の向こうに賞品がある事象をそれぞれ $A,$ $B,$ $C$ とおく. 賞品は無作為に隠されているから, \[ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}\] である. 挑戦者がドア A を選んだとき, 司会者がドア C を開ける事象を $E$ とおく.
(1)
  • A が当たりのとき司会者は C の他に B も開けることができるから, $P_A(E) = \dfrac{1}{2}$ であり, \[ P(A\cap E) = P(A)P_A(E) = \frac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \frac{1}{6}\] である.
  • B が当たりのとき司会者は C を開けるしかないから, $P_B(E) = 1$ であり, \[ P(B\cap E) = P(B)P_B(E) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}\] である.
  • C が当たりのとき司会者は C を開けることはないから, $P_C(E) = 0$ であり, \[ P(C\cap E) = P(C)P_E(C) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0\] である.
よって, 求める確率は, \begin{align*} P(E) &= P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E) \\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+0 = \frac{1}{2} \end{align*} である.
(2)
  • 司会者がドア C を開けたとき, A が当たりである条件付き確率は, \[ P_E(A) = \frac{P(A\cap E)}{P(E)} = \frac{1}{6}\div\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\] である.
  • 司会者がドア C を開けたとき, B が当たりである条件付き確率は, \[ P_E(B) = \frac{P(B\cap E)}{P(E)} = \frac{1}{3}\div\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\] である.
$P_E(A) < P_E(B)$ であるから, ドアを変更した方が賞品を得る確率が高い.

背景

  • この問題は, モンティ・ホールという人物が司会を務めるアメリカのテレビ番組「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争に由来をもち,「モンティ・ホール問題」(Monty Hall problem)として有名である.
  • (1) について, 一般に, 全事象が互いに排反な事象 $A_1,$ $\cdots,$ $A_n$ に分けられるとき,「全確率の定理」(theorem of total probability) \begin{align*} P(E) &= P(A_1\cap E)+\cdots +P(A_n\cap E) \\ &= P(A_1)P_{A_1}(E)+\cdots +P(A_n)P_{A_n}(E) \end{align*} が成り立つ.
  • (2) の $P_E(A)$ は, $E$ という結果の起こった原因が $A$ である確率を表している. このような条件付き確率を「原因の確率」(probability of cause)と呼ぶ.
  • (2) では, (1) で求めた $P(A\cap E) = P(A)P_A(E)$ の値を使って, 条件付き確率 $P_E(A) = \dfrac{P(A\cap E)}{P(E)}$ を計算した. つまり, \[ P_E(A) = \dfrac{P(A)P_A(E)}{P(E)}\] が成り立つ. これは, 「ベイズの定理」(Bayes' theorem)として知られている.