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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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凸関数

理論

凸関数

定義≪凸関数≫

 $f(x)$ を区間 $I$ で定義された実数値関数とする. $f(x)$ のグラフがその上の $2$ 点を結ぶ線分よりも下方にあるとき, つまり $(a,b) \subset I,$ $0 < t < 1$ ならば \[ f((1-t)a+tb) \leqq (1-t)f(a)+tf(b)\] が成り立つとき, $f(x)$ は下に凸(convex downward)であるという. また, $f(x)$ のグラフがその上の $2$ 点を結ぶ線分よりも上方にあるとき, つまり $(a,b) \subset I,$ $0 < t < 1$ ならば \[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b)\] が成り立つとき, $f(x)$ は上に凸(convex upward)であるという.

定理≪凸関数の特徴付け≫

 区間 $I$ で定義された実数値関数 $f(x)$ について, 次は同値である.
(i)
$f(x)$ は下に凸である.
(ii)
$(a,b) \subset I,$ $a < x < b$ ならば \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}\] が成り立つ.
(ii)'
$(a,b) \subset I,$ $a < x < b$ ならば \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}\] が成り立つ.

証明

 $(a,b) \subset I,$ $a < x < b,$ $x = (1-t)a+tb,$ $0 < t < 1$ のとき, \begin{align*} &(b-x)(f(x)-f(a))-(x-a)(f(b)-f(x)) \\ &= (b-a)f(x)-(b-x)f(a)-(x-a)f(b) \quad \cdots [1] \\ &= (b-a)f(x)-(1-t)(b-a)f(a)-t(b-a)f(b) \\ &= (b-a)(f(x)-(1-t)f(a)-tf(b)) \end{align*} が成り立つから (i) と (ii) は同値であり, \[ (b-a)(f(x)-f(a))-(x-a)(f(b)-f(a))\] と \[ (b-x)(f(b)-f(a))-(b-a)(f(b)-f(x))\] はいずれも $[1]$ に等しいから (ii) と (ii)' も同値である.

Jensen の不等式

定理≪Jensen の不等式≫

 区間 $I$ で定義された実数値関数 $f(x)$ について, 次は同値である.
(i)
$f(x)$ は下に凸である.
(i)'
すべての正の整数 $n$ に対して, $x_1,\ \cdots,\ x_n \in I,$ $t_1,\ \cdots,\ t_n \in (0,1),$ $\sum_{k = 1}^nt_k = 1$ ならば \[\sum_{k = 1}^nt_kf(x_k) \geqq f\left(\sum_{k = 1}^nt_kx_k\right)\] が成り立つ.

証明

 (i) が成り立つとする. このとき, (i)' の $n = 2$ の場合が成り立つ. 与えられた正の整数 $n$ に対して, (i)' の主張が成り立つとする. $x_1,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1} \in I,$ $t_1,\ \cdots,\ t_n,\ t_{n+1} \in (0,1),$ $\sum_{k = 1}^{n+1}t_k = 1$ のとき, $s = \sum_{k = 1}^nt_k$ とおくと $s+t_{n+1} = 1$ となるから \begin{align*} \sum_{k = 1}^{n+1}t_kf(x_k) &= \sum_{k = 1}^nt_kf(x_k)+t_{n+1}f(x_{n+1}) \\ &= s\sum_{k = 1}^n\frac{t_k}{s}f(x_k)+t_{n+1}f(x_{n+1}) \\ &\geqq sf\left(\sum_{k = 1}^n\frac{t_k}{s}x_k\right)+t_{n+1}f(x_{n+1}) \\ &\geqq f\left( s\sum_{k = 1}^n\frac{t_k}{s}x_k+t_{n+1}x_{n+1}\right) \\ &= f\left(\sum_{k = 1}^{n+1}t_kx_k\right) \end{align*} となる. 以上より, すべての正の整数 $n$ に対して (i)' の主張が成り立つ.
 (i) は (i)' の $n = 2$ の場合に他ならないから, (i)' $\Longrightarrow$ (i) が成り立つ.

解説≪Jensen の不等式の図形的意味≫

 $n \geqq 3$ であり, $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ が相異なるとき, (i)' の不等式は, $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の $n$ 個の点 $(x_1,f(x_1)),$ $\cdots,$ $(x_n,f(x_n))$ を結ぶ $n$ 角形の内部の点が $y = f(x)$ よりも上側にあることを意味する.

例≪ヤングの不等式≫

 $p > 1,$ $q > 1,$ $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = 1$ として, $f(x) = e^x,$ $t_1 = \dfrac{1}{p},$ $t_2 = \dfrac{1}{q}$ にイェンゼンの不等式を適用すると, \[\frac{e^x}{p}+\frac{e^y}{q} \geqq e^{\frac{x}{p}+\frac{y}{q}} = e^{\frac{x}{p}}e^{\frac{y}{q}}\] が得られる. $a > 0,$ $b > 0$ として, $x = p\log a,$ $y = q\log b$ を代入すると, ヤングの不等式 \[\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} \geqq ab\] が得られる.

凸関数のグラフの接線

定理≪凸関数のグラフの接線による特徴付け≫

 区間 $I$ で定義された微分可能な実数値関数 $f(x)$ について, 次は同値である.
(i)
$f(x)$ は下に凸である.
(iii)
$\alpha \in I$ ならば \[ f(x) \geqq f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )\] が成り立つ.

証明

 (i) $\Longrightarrow$ (iii) の証明: (i) が成り立つとする. $\alpha,$ $x \in I,$ $x \neq \alpha,$ $0 < t < 1$ のとき, (i) から \[ (1-t)f(\alpha )+tf(x) \geqq f((1-t)\alpha +tx),\] よって \begin{align*} &f(x)-f(\alpha +t(x-\alpha )) \\ &\qquad\geqq (1-t)\frac{f(\alpha +t(x-\alpha ))-f(\alpha )}{t(x-\alpha )}(x-\alpha ) \end{align*} が成り立つので, $t \to 0$ とすると $f(x)$ の微分可能性とそれが導く連続性から \[ f(x)-f(\alpha ) \geqq f'(\alpha )(x-\alpha )\] が得られる. また, $x = \alpha \in I$ のとき, この不等式の等号が成り立つ. よって, (iii) が成り立つ.
 (i) $\Longrightarrow$ (iii) の証明: (iii) が成り立つとする. $(a,b) \subset I,$ $0 < t < 1$ とし, $\alpha = (1-t)a+tb$ とおくと, (iii) から \begin{align*} f(a) &\geqq f'(\alpha )(a-\alpha )+f(\alpha ) \quad \cdots [2], \\ f(b) &\geqq f'(\alpha )(b-\alpha )+f(\alpha ) \quad \cdots [3] \end{align*} が成り立つので, $(1-t)\times [2]+t\times [3]$ から \[ (1-t)f(a)+tf(b) \geqq f(\alpha )=f((1-t)a+tb)\] が得られる. よって, (i) が成り立つ.

凸関数の第 $2$ 次導関数

定理≪凸関数の第 $2$ 次導関数の符号による特徴付け≫

 区間 $I$ で定義された $2$ 回微分可能な実数値関数 $f(x)$ について, 次は同値である.
(i)
$f(x)$ は下に凸である.
(iv)
$f''(x) \geqq 0$ が成り立つ.
(iv)'
$f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の点 $(x,f(x))$ における接線の傾きは単調増加である.

証明

 $f''(x) \geqq 0$ は $f'(x)$ が単調増加であることを意味し, $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の点 $(x,f(x))$ における接線の傾きは $f'(x)$ であるから, (iv) と (iv)' は同値である.
 (i) は (ii), (ii)' と同値であるから, (i) $\iff$ (iv) を示すには, (ii)' $\Longrightarrow$ (iv) と (iv) $\Longrightarrow$ (ii) を示せば良い.
 (ii)' が成り立つとすると, $(a,b) \subset I$ のとき, $a < x < b$ において \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}\] が成り立ち, 左側の不等式で $x \to a+0$ として, 右側の不等式で $x \to b-0$ とすると \[ f'(a) \leqq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqq f'(b)\] となるから, (iv) が成り立つ.
 (iv) が成り立つとすると, $(a,b) \subset I,$ $a < x < b$ のとき, 平均値の定理により存在が保証される \begin{align*} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c), \quad&\quad \frac{f(b)-f(x)}{b-x} = f'(d), \\ a < c < &x < d < b \end{align*} なる実数 $c,$ $d$ に対して $f'(c) \leqq f'(d)$ となるから, (ii) が成り立つ.

問題

数学 II: 指数と対数

問題≪対数関数の凸性に関する大小比較≫

 $a,$ $b$ を $2$ より大きい実数とするとき, $A = \log_{10}\dfrac{a+b}{2},$ $B = \dfrac{1}{2}(\log _{10}a+\log _{10}b),$ $C = \dfrac{1}{2}\log_{10}(a+b)$ の大小を比較せよ.
[北海道教育大*]

解答例

 後日公開.

数学 III: 微分

問題≪イェンゼンの不等式を利用した相加・相乗平均の不等式の証明≫

 $n$ を $2$ 以上の整数とする.
(1)
$0 < x_1 < x < x_2$ のとき, 平均値の定理を用いて \[\log x \geqq \log x_1+\frac{\log x_2-\log x_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\] が成り立つことを示せ.
(2)
$p_1,$ $\cdots,$ $p_n \geqq 0,$ $p_1+\cdots +p_n = 1$ とする. $x_1,$ $\cdots,$ $x_n > 0$ のとき, \[\log\left(\sum_{k = 1}^np_kx_k\right) \geqq \sum_{k = 1}^np_k\log x_k\] が成り立つことを示せ.
(3)
$x_1,$ $\cdots,$ $x_n > 0$ のとき, \[\frac{x_1+\cdots +x_n}{n} \geqq \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\] が成り立つことを示せ.
[2006 滋賀医科大*]

解答例

(1)
$f(x) = \log x\ (x > 0)$ とおく. このとき, $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ である. 定義域を区間 $(x_1,x),$ $(x,x_2)$ に制限して $f(x)$ に平均値の定理を適用すると, ある実数 $c,$ $d$ について \begin{align*} \frac{\log x-\log x_1}{x-x_1} &= \frac{1}{c}, \quad x_1 < c < x \\ \frac{\log x_2-\log x}{x_2-x} &= \frac{1}{d}, \quad x < d < x_2 \end{align*} となる. よって, $\dfrac{1}{c} \geqq \dfrac{1}{d}$ から \[\frac{\log x-\log x_1}{x-x_1} \geqq \frac{\log x_2-\log x}{x_2-x}\] が成り立つので, \[\log x-\log x_1 \geqq \frac{\log x_2-\log x}{x_2-x}(x-x_1)\] から求める不等式が得られる.
(2)
(i)
$n = 2$ のとき. $x_1 \leqq x_2$ としても一般性を失わない. $x_1 = x_2$ のとき, 不等式の両辺は等しい. $x_1 < x_2$ のとき, (1) において $x = p_1x_1+p_2x_2$ とすると, $p_1+p_2 = 1$ から \begin{align*} &\log (p_1x_1+p_2x_2) \\ &\geqq \log x_1+\frac{\log x_2-\log x_2}{x_2-x_1}(p_1x_1+p_2x_2-x_1) \\ &= \log x_1+p_2(\log x_2-\log x_1) \\ &= (1-p_2)\log x_1+p_2\log x_2 \\ &= p_1\log x_1+p_2\log x_2 \end{align*} となり, 求める不等式が得られる.
(ii)
$3$ 以上の与えられた整数 $n$ について, $n$ を $n-1$ に置き換えたときに不等式が成り立つとする. $s = p_1+\cdots +p_{n-1}$ とおく. $s = 0$ のとき, $p_1 = \cdots = p_{n-1} = 0$ であるから, 不等式の両辺は等しい. $s > 0$ のとき, \[ q_k = \frac{p_k}{s} \quad (1 \leqq k \leqq n-1)\] とおくと, (i) の結果と帰納法の仮定から \begin{align*} &\log\left(\sum_{k = 1}^np_kx_k\right) \\ &= \log\left(\sum_{k = 1}^{n-1}p_kx_k+p_nx_n\right) \\ &= \log\left( s\sum_{k = 1}^{n-1}q_kx_k+p_nx_n\right) \\ &\geqq s\log\left(\sum_{k = 1}^{n-1}q_kx_k\right) +p_n\log x_n \\ &\geqq s\left(\sum_{k = 1}^{n-1}q_k\log x_k\right) +p_n\log x_n \\ &= \sum_{k = 1}^{n-1}p_k\log x_k+p_n\log x_n = \sum_{k = 1}^np_k\log x_k \end{align*} となる. よって, 整数 $n$ に対して不等式が成り立つ.
(i), (ii) から, $2$ 以上のすべての整数 $n$ に対して不等式が成り立つ.
(3)
(2) において $p_1 = \cdots = p_n = \dfrac{1}{n}$ とすると \[\log\frac{x_1+\cdots +x_n}{n} \geqq \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n}\log x_i = \log\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\] となるから, 両辺の指数関数による値をとると求める不等式が得られる.