COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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サイクロイド

サイクロイド

定義≪サイクロイド≫

 平面上において, 円が定直線に接しながらすべることなく転がるとき, 円周上の点が描く軌跡をサイクロイド(cycloid)と呼ぶ.

定理≪サイクロイドの媒介変数表示≫

 $xy$ 平面において, 半径 $a$ の円が $x$ 軸の上をすべることなく転がるとき, 原点で $x$ 軸に接する円周上の定点が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として \[ x = a(\theta -\sin\theta ), \quad y = a(1-\cos\theta )\] で表される.

解答例

 こちらを参照.

問題

数学 III: 式と曲線

問題≪サイクロイドの媒介変数表示≫

 $xy$ 平面において, 半径 $1$ の円が $x$ 軸の上をすべることなく転がるとき, 原点で $x$ 軸に接する円周上の定点 $\mathrm P$ が描く軌跡は, $\theta$ を媒介変数として \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad \cdots [\ast ]\] で表されることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

数学 III: 積分法

問題≪サイクロイドの長さ≫

 $xy$ 平面上の曲線 \[ x = \theta -\sin\theta, \quad y = 1-\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi )\] の長さ $L$ を求めよ. 

解答例

 こちらを参照.