COMPASS

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微分方程式(高校発展)

微分方程式

 $y' = y$ のように, 導関数を含み, 関数を解とする方程式を「微分方程式」(differential equation)と呼ぶ.

問題≪指数関数の微分方程式≫

 実数全体で微分可能であり, 正の数全体を値域とする実数値関数 $f(x)$ が \[ f'(x) = f(x), \quad f(0) = 1\] を満たすとする. このとき, $f'(x) = f(x) > 0$ であるから, $f(x)$ の逆関数 $g(x)$ が存在する.
(1)
$g'(x)$ を求めて, $g(x) = \displaystyle\int_1^x\dfrac{dt}{t}$ であることを示せ.
(2)
すべての正の数 $x_1,$ $x_2$ に対して $g(x_1x_2) = g(x_1)+g(x_2)$ が成り立つことを示せ.
(3)
すべての実数 $x_1,$ $x_2$ に対して $f(x_1+x_2) = f(x_1)f(x_2)$ が成り立つことを示せ.
(4)
$g'(1)$ の値から $f(1) = \lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}$ であることを示せ.

解答例

(1)
$y = f(x)$ とおくと, 逆関数の微分法と仮定から \[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'} = \frac{1}{y}\] となるので, \[ g'(x) = \dfrac{1}{x} \quad \cdots [1]\] である. また, $f(0) = 1$ から \[ g(1) = 0 \quad \cdots [2]\] であるので, \[ g(x) = g(x)-g(1) = \int_1^x\frac{dt}{t} \quad \cdots [3]\] が成り立つ.
(2)
$[3]$ から, すべての正の数 $x_1,$ $x_2$ に対して \begin{align*} g(x_1x_2) &= \int_1^{x_1x_2}\frac{dt}{t} = \int_1^{x_1}\frac{dt}{t}+\int_{x_1}^{x_1x_2}\frac{dt}{t} \\ &= g(x_1)+\int_1^{x_2}\frac{1}{x_1u}x_1du \quad (t = x_1u\text{ と置換}) \\ &= g(x_1)+g(x_2) \quad \cdots [4] \end{align*} が成り立つ.
(3)
$x_1,$ $x_2$ を実数として, $y_1 = f(x_1),$ $y_2 = f(x_2)$ とおく. このとき, $g(y_1) = x_1,$ $g(y_2) = x_2$ となるので, $[4]$ から, \begin{align*} f(x_1+x_2) &= f(g(y_1)+g(y_2)) = f(g(y_1y_2)) \\ &= y_1y_2 = f(x_1)f(x_2) \end{align*} が成り立つ.
(4)
$[1],$ $[2]$ から, \[ 1 = g'(1) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h}g(1+h)\] が成り立つ. よって, \begin{align*} 1 &= \lim\limits_{n \to \infty}ng\left( 1+\frac{1}{n}\right) \quad \left(\because n \to \infty\text{ のとき }\frac{1}{n} \to 0\right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}g\left(\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\right) \quad (\because [4]) \\ &= g\left(\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\right) \quad (\because g(x)\text{ は連続}) \end{align*} であるから, $f(1) = \lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n$ が成り立つ.

背景

  • $f'(x) = f(x)$ のように, 導関数を含み, 関数を解とする方程式を「微分方程式」(differential equation)と呼ぶ.
  • 解析学の教科書では, 指数関数 $f(x) = e^x$ を「微分方程式」$f'(x) = f(x),$ $f(0) = 1$ の解として定義することも多い.
 以下では,「変数分離法」と呼ばれる, 簡単な式変形と積分の計算だけで解ける「微分方程式」の問題を紹介する.

問題≪ロジスティック方程式≫

 $a,$ $b$ を正の数とする. $x$ の関数 $y$ とその導関数について \[\frac{dy}{dx} = ay\left( 1-\frac{y}{b}\right) \quad \cdots [\ast ]\] が成り立つとする. また, $x = 0$ のとき $y = y_0 > 0$ であり, すべての $x$ に対して $y \neq 0,$ $b$ であるとする.
(1)
$y$ を $x$ の関数として表せ.
(2)
$b > y_0$ であるならば, $x \to \infty$ のとき $y \to b$ であり, $y$ は単調増加であることを示せ.

解答例

(1)
与式を変形すると \begin{align*} [\ast ] & \iff \dfrac{dy}{dx} = a\cdot\dfrac{y(b-y)}{b} \\ &\iff \frac{b}{y(b-y)}\cdot\frac{dy}{dx} = a \\ &\iff \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{b-y}\right)\frac{dy}{dx} = a \quad \cdots [1] \end{align*} となるから, 両辺を $x$ で積分すると \begin{align*} [1] &\iff \int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{b-y}\right)\frac{dy}{dx}dx = \int adx \\ &\iff \int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{b-y}\right) dy = \int adx \\ &\iff \log |y|-\log |b-y| = ax+C \\ &\iff \log\left|\frac{y}{b-y}\right| = ax+C \\ &\iff\frac{y}{b-y} = \pm e^{ax+C} \quad \cdots [2] \end{align*} となる. ここで, $C$ は積分定数である. $c = \pm e^C$ とおくと, \begin{align*} [2] &\iff \frac{y}{b-y} = ce^{ax} \iff y = ce^{ax}(b-y) \\ &\iff (1+ce^{ax})y = cbe^{ax} \\ &\iff y = \frac{cbe^{ax}}{1+ce^{ax}} \quad \cdots [3] \end{align*} となる. また, $x = 0$ のとき $y = y_0$ であるから, $c = \dfrac{y_0}{b-y_0}$ である. これを $[3]$ に代入して整理すると, \[ y = \frac{y_0be^{ax}}{b-y_0+y_0e^{ax}} \quad \cdots [4]\] となる.
(2)
$[4]$ から, \[ y = \frac{y_0b}{(b-y_0)e^{-ax}+y_0} \quad \cdots [5]\] であるので, \[ y \to \frac{y_0b}{y_0} = b \quad (x \to \infty )\] が成り立つ. また, $b > y_0$ であるならば, $y_0 > 0$ と $[5]$ から, $y > 0$ であり, \[\frac{1}{y} = \frac{(b-y_0)e^{-ax}+y_0}{y_0b}\] は単調に減少するから, $y$ は単調に増加する. これで, 題意が示された.

背景

  • $y' = y$ のように, 導関数を含み, 関数を解とする方程式を「微分方程式」(differential equation)と呼ぶ. 「微分方程式」は, 現代解析学で非常に重要な役割を果たし, さまざまな現象の解析に応用されている.
  • マルサスの『人口論』による「人口は指数関数的に増加する」という考えのもとでは, 人口 $y$ の時間変化は $y' = ay$ ($a$: 正の数)という単純な「微分方程式」で記述できる. しかし, この人口増加モデルには, 限られた資源環境の中で人口が飽和状態に近づいていくことを説明できないという難点があった. そこで考案されたのが, 「ロジスティック方程式」(logistic equation)と呼ばれる本問の微分方程式 $[\ast ]$ である(フェルフルスト, 1838年). $[\ast ]$ において, 項 $-\dfrac{ay^2}{b}$ は人口の増加を抑制する役割を果たし, 定数 $b$ は「環境許容量」(carrying capacity of environment)と呼ばれる.
  • 「ロジスティック方程式」は,「変数分離法」(variable separation method)という手法で解ける代表的な「微分方程式」である. 例えば, $y' = -2xy\ (y \neq 0)$ という微分方程式は, 左辺を $y$ だけの式, 右辺を $x$ だけの式とした \[\frac{y'}{y} = -2x\] の形に変形することで, $\displaystyle\int\frac{y'}{y}dx = \int (-2x)dx$ から, 置換積分法により $\displaystyle\int\frac{1}{y}dy = \int (-2x)dx,$ $\log |y| = -x^2+C$ ($C$: 積分定数), $y = ce^{-x^2}$ ($c = \pm e^C$)と解くことができる. このような「微分方程式」の解法を「変数分離法」と呼ぶ.