COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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微分方程式

理論

微分方程式

 準備中.

問題

数学 III: 積分法

問題≪排水にかかる時間≫

 曲線 $y = x^2\ (0 \leqq x \leqq 1)$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる形の容器に水を満たす. この容器の底に排水口がある. 時刻 $t = 0$ に排水口を開けて排水を開始する. 時刻 $t$ において容器に残っている水の深さを $h,$ 体積を $V$ とする. $V$ の変化率 $\dfrac{dV}{dt}$ は, \[\frac{dV}{dt} = -\sqrt h\] で与えられる.
(1)
水深 $h$ の変化率 $\dfrac{dh}{dt}$ を $h$ を用いて表せ.
(2)
容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 $T$ を求めよ.
[2003 北大]

解答例

(1)
水深が $y$ であるときの水面の半径を $x,$ 面積を $S(y)$ とおく. このとき, \[ y = x^2, \quad S(y) = \pi x^2 = \pi y\] であるから, \[ V = \int _0^hS(y)dy = \int _0^h\pi ydy = \frac{\pi}{2}h^2\] が成り立つ. よって, \[ -\sqrt h = \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt} = \pi h\frac{dh}{dt}\] から \[\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{\pi\sqrt h} \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
$[1]$ から, \[ -\frac{1}{\pi} = \sqrt h\frac{dh}{dt}\] が成り立つ. 両辺を $t$ について $0$ から $T$ まで積分すると, \[ -\frac{T}{\pi} = \int_0^T\!\!\sqrt h\frac{dh}{dt}dh = \int_1^0\!\!\sqrt hdh = \left[\frac{2}{3}h^{\frac{3}{2}}\right] _1^0 = -\dfrac{2}{3}\] となるから, \[ T = \frac{2\pi}{3}\] となる.