COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

完全順列

完全順列

定義≪完全順列, モンモール数≫

(1)
それぞれをもとの位置と異なる位置に並び替える順列を完全順列または攪乱順列(derangement)と呼ぶ.
(2)
$n$ 個のものの完全順列の総数を $n$ 番目のモンモール数(Montmort number)と呼ぶ.

問題

数学 B: 数列

問題≪完全順列の確率≫

 $n$ 人のクラスで席替えをするとき, 全員が前と同じ席にならない場合の数を $a_n,$ 確率を $p_n$ とおく.
(1)
$a_{n+2} = (n+1)(a_{n+1}+a_n)$ が成り立つことを説明せよ.
(2)
$n > 2$ のとき, $p_n-p_{n-1} = -\dfrac{1}{n}(p_{n-1}-p_{n-2})$ が成り立つことを示せ.
(3)
数列 $\{ p_n\}$ の一般項を求めよ. 必要ならば, 和の記号 $\Sigma$ を用いても良い.

解答例

 こちらを参照.