COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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微分法の公式(数学 III)

微分法の公式(数学 III)

定理≪積の微分の公式≫

 $x = a$ で微分可能な関数 $f(x),$ $g(x)$ に対して, \[\{ f(x)g(x)\}'(a) = f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\] が成り立つ.

問題≪多項式の重根判定法≫

 実数を係数とする多項式 $f(x),$ 実数 $\alpha$ について,
(1)
$f(x)$ の導関数を考えることにより, $\alpha,$ $f(\alpha ),$ $f'(\alpha )$ を用いて $f(x)$ を $(x-\alpha )^2$ で割ったときの余りを表せ.
(2)
$f(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れるための必要十分条件は, $f(\alpha ) = f'(\alpha ) = 0$ であることを示せ.
[早稲田大*]

解答例

 こちらを参照.