COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$1$ 変数関数の微分

理論

関数の極限

定義≪関数の極限≫

 $f:D\to\mathbb R$ を関数とし, $a,$ $\alpha$ を実数とする.
(1)
任意の $\varepsilon > 0$ に対し, ある $\delta > 0$ について \[ |x-a| < \delta \Longrightarrow |f(x)-\alpha | < \varepsilon \] が成り立つとき, $x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ は $\alpha$ に収束する(converge)といい, $f(x) \to \alpha\ (x \to a)$ と表す. $\alpha$ を $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値(limit)と呼び, $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ で表す. 任意の $\varepsilon > 0$ に対し, ある実数 $\delta$ について \[ x \gtrless \delta \Longrightarrow |f(x)-\alpha | < \varepsilon \] が成り立つとき, $x$ が $\pm\infty$ に近づくとき $f(x)$ は $\alpha$ に収束するといい, $f(x) \to \alpha\ (x \to \pm\infty )$ と表す. $\alpha$ を $x$ が $\pm\infty$ に近づくときの $f(x)$ の極限値と呼び, $\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x)$ で表す.
(2)
$a \in \mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ とする. $x \to a$ のとき, $f(x)$ がある実数に収束するとき, $f(x)$ は収束するという. $x \to a$ のとき, $f(x)$ が収束しないとき, $f(x)$ は発散する(diverge)という.
(3)
任意の実数 $G$ に対し, ある $\delta > 0$ について \[ |x-a| < \delta \Longrightarrow f(x) \gtrless G\] が成り立つとき, $x \to a$ のとき $f(x)$ は $\pm\infty$ に発散するといい, $\lim\limits_{x \to a}f(x) = \pm\infty$ と表す. 任意の実数 $G$ に対し, ある実数 $\delta$ について \[ x \gtrless \delta \Longrightarrow f(x) \gtrless G\] (複号の組合せは任意)が成り立つとき, $x \to \pm\infty$ のとき $f(x)$ は $\pm\infty$ に発散するといい, $\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x) = \pm\infty$ と表す.

定理≪関数の和・差・積・商の極限≫

 関数 $f:D \to \mathbb R,$ $g:D \to \mathbb R$ と $a \in \mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ について, 極限値 $\lim\limits_{x \to a}f(x),$ $\lim\limits_{x \to a}g(x)$ が存在するとき, $\lim\limits_{x \to a}(f(x)+g(x)),$ $\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x),$ $\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ も存在して,
(1)
$\lim\limits_{x \to a}(f(x)+g(x)) = \lim\limits_{x \to a}f(x)\pm\lim\limits_{x \to a}g(x),$ 
(2)
$\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x) = \left(\lim\limits_{x \to a}f(x)\right)\left(\lim\limits_{x \to a}g(x)\right),$ 
(3)
$\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim\limits_{x \to a}g(x)}$ 
が成り立つ.

証明

 $\alpha = \lim\limits_{x \to a}f(x),$ $\beta = \lim\limits_{x \to a}g(x)$ とおく. まず, $a \in \mathbb R$ の場合を示す.
(1)
$\varepsilon$ を正の数とする. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow |f(x)-\alpha | < \frac{\varepsilon}{2}, \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow |f(x)-\beta | < \frac{\varepsilon}{2} \end{align*} となる. そこで, $\delta = \max\{\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \begin{align*} |(f(x)\pm g(x))-(\alpha\pm\beta )| &\leqq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta | \\ &< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} となる. これは (1) が成り立つことを示している.
(2)
$\varepsilon$ を正の数とする. $x \to a$ のとき $g(x)$ は収束するから, ある正の数 $\delta _0,$ $M$ に対して \[ |x-a| < \delta _0 \Longrightarrow |g(x)| \leqq M\] となる. 必要ならば $M$ を $|\alpha |$ に取り換えることにより $|\alpha | \leqq M$ であるとしてよい. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow |f(x)-\alpha | < \frac{\varepsilon}{2M}, \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow |g(x)-\beta | < \frac{\varepsilon}{2M} \end{align*} となる. そこで, $\delta = \min\{\delta _0,\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \begin{align*} |f(x)g(x)-\alpha\beta | &= |f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha\beta | \\ &= |(f(x)-\alpha )g(x)+\alpha (g(x)-\beta )| \\ &\leqq |f(x)-\alpha ||g(x)|+|\alpha ||g(x)-\beta | \\ &< \frac{\varepsilon}{2M}\cdot M+M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} \\ &= \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} となる. これは (2) が成り立つことを示している.
(3)
\[\lim\limits_{x \to a}\dfrac{1}{g(x)} = \dfrac{1}{\beta} \quad \cdots (3)'\] を示せば, (2) から (3) が示される. $\varepsilon$ を正の数とする. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow |\beta -g(x)| < \frac{|\beta |^2\varepsilon}{2} \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow |\beta |-|g(x)| \leqq |\beta -g(x)| < \frac{|\beta |}{2} \end{align*} となる. $|x-a| < \delta _2$ のとき, $|g(x)| > \dfrac{|\beta |}{2}$ となるから, $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \begin{align*} \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{\beta}\right| &= \frac{|\beta -g(x)|}{|g(x)||\beta |} \\ &< \frac{|\beta |^2\varepsilon}{2}\cdot\frac{2}{|\beta |}\cdot\frac{1}{|\beta |} = \varepsilon \end{align*} となる. これは (3)' が成り立つことを意味している.
 $a = \pm\infty$ の場合には, 上記の証明において $|x-a| < \delta _k,$ $|x-a| < \delta$ を $x \gtrless \delta _k,$ $x \gtrless \delta$ に置き換えればよい. ただし, $a = \infty$ の場合には $\delta = \max\{\delta _1,\delta _2\}$ とし, $a = -\infty$ の場合には $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とする.

定理≪発散する関数の和・積の極限≫

 実数値関数 $f(x),$ $g(x)$ と $a \in \mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ について,
(1)
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}g(x) = \pm\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{x \to a}(f(x)+g(x)) = \pm\infty,$
(2)
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}g(x) = \pm\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x) = \infty,$
(2)'
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \infty,$ $\lim\limits_{x \to a}g(x) = -\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x) = -\infty$
が成り立つ.

証明

 まず, $a \in \mathbb R$ の場合を示す.
(1)
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}g(x) = \pm\infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow f(x) \gtrless G, \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow g(x) \gtrless 0 \end{align*} となる. そこで, $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \[ f(x)+g(x) \gtrless G+0 = G\] となる. これは (1) が成り立つことを示している.
(2)
(i)
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}g(x) = \infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow f(x) > |G|, \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow g(x) > 1 \end{align*} となる. そこで, $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \[ f(x)g(x) > |G|\cdot 1 = |G| \geqq G\] となる. これは $\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x) = \infty$ であることを示している.
(ii)
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}g(x) = -\infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow f(x) < -|G|, \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow g(x) < -1 \end{align*} となる. そこで, $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \[ f(x)g(x) > (-|G|)(-1) = |G| \geqq G\] となる. これは $\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x) = \infty$ であることを示している.
(2)'
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \infty,$ $\lim\limits_{x \to a}g(x) = -\infty$ であるとする. $G$ を実数とする. このとき, ある正の数 $\delta _1,$ $\delta _2$ に対して \begin{align*} |x-a| < \delta _1 &\Longrightarrow f(x) > |G|, \\ |x-a| < \delta _2 &\Longrightarrow g(x) < -1 \end{align*} となる. そこで, $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とおくと, $|x-a| < \delta$ のとき, \[ f(x)g(x) < |G|(-1) = -|G| \leqq G\] となる. これは $\lim\limits_{x \to a}f(x)g(x) = -\infty$ であることを示している.
 $a = \pm\infty$ の場合には, 上記の証明において $|x-a| < \delta _k,$ $|x-a| < \delta$ を $x \gtrless \delta _k,$ $x \gtrless \delta$ に置き換えればよい. ただし, $a = \infty$ の場合には $\delta = \max\{\delta _1,\delta _2\}$ とし, $a = -\infty$ の場合には $\delta = \min\{\delta _1,\delta _2\}$ とする.

定理≪関数の連続性の特徴づけ≫

 実数 $a$ を含む区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ が $x = a$ で連続あるための必要十分条件は, $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a,$ $a_n \in I$ を満たす任意の実数列 $\{ a_n\}$ に対して $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n) = f(a)$ が成り立つことである.

証明

 必要性: $\displaystyle\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$ を仮定する. $\{ a_n\}$ を $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a,$ $a_n \in I$ を満たす実数列とし, $\varepsilon$ を正の数とする. このとき, ある正の数 $\delta$ に対して \[ |x-a| < \delta \Longrightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon\] が成り立つ. さらに, この $\delta$ について, ある正の整数 $n_0$ に対し \[ n \geqq n_0 \Longrightarrow |a_n-a| < \delta\] が成り立つ. よって, \[ n \geqq n_0 \Longrightarrow |f(a_n)-f(a)| < \varepsilon\] が成り立つ. これは $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n) = f(a)$ が成り立つことを示している.
 十分性: 対偶を示すため, $\displaystyle\lim\limits_{x \to a}f(x) \neq f(a)$ を仮定する. このとき, ある正の数 $\varepsilon$ があり, 任意の正の数 $\delta$ に対して, ある実数 $x \in I$ があって, \[ |x-a| < \delta, \quad |f(x)-f(a)| \geqq \varepsilon\] が成り立つ. 各正の整数 $n$ に対して, $\delta = \dfrac{1}{n}$ の場合を考えると, \[ |a_n-a| < \delta\ \cdots [1], \quad |f(a_n)-f(a)| \geqq \varepsilon\ \cdots [2]\] なる実数 $a_n \in I$ の存在が示される. このとき, $[1]$ から $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a$ が成り立つ. また, $[2]$ から, 任意の正の整数 $n_0$ に対して, 正の整数 $n = n_0$ は \[ n \geqq n_0, \quad |f(a_n)-f(a)| \geqq \varepsilon\] を満たす. これで, $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}a_n = a,$ $a_n \in I,$ $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n) \neq f(a)$ なる実数列 $\{ a_n\}$ の存在が示された. よって, 対偶が示された.