COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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微分(数学 II)

教科書の補足

微分係数・導関数

定理≪累乗関数の導関数≫

 すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (x^n)' = nx^{n-1}\] が成り立つ.

証明

\begin{align*} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} &= \frac{1}{h}\left(\sum_{k = 0}^n{}_n\mathrm C_kx^{n-k}h^k-x^n\right) \\ &= \frac{1}{h}\sum_{k = 1}^n{}_n\mathrm C_kx^{n-k}h^k = \sum_{k = 1}^n{}_n\mathrm C_kx^{n-k}h^{k-1} \\ &\to {}_n\mathrm C_1x^{n-1} = nx^{n-1} \quad (h \to 0) \end{align*} から, $(x^n)' = nx^{n-1}$ が成り立つ.

問題

微分係数・導関数

問題≪定義に従った微分≫

 任意の定数 $c,$ $d,$ 関数 $f(x),$ $g(x)$ に対して $\lim\limits_{x \to a}f(x) = \alpha,$ $\lim\limits_{x \to a}g(x) = \beta$ のとき \[\lim\limits_{x \to a}\big( cf(x)+dg(x)\big) = c\alpha +d\beta\] が成り立つこと, $\lim\limits_{h \to 0}h = 0$ が成り立つことを用いて, $f(x) = x^2-2x+3$ を定義に従って微分せよ.

解答例

\begin{align*} &\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \frac{(x+h)^2-2(x+h)+3-(x^2-2x+3)}{h} \\ &= \frac{(x^2+2xh+h^2-2x-2h+3)-(x^2-2x+3)}{h} \\ &= \frac{2xh+h^2-2h}{h} \\ &= 2x+h-2 \\ &\to 2x-2 \quad (h \to 0). \end{align*} ゆえに, \[ f'(x) = 2x-2.\]

問題≪極限値と微分係数≫

 $n$ を $2$ 以上の整数とする. 関数 $f(x)$ が $x = a$ において微分可能なとき, 次の極限値を $a,$ $f(a),$ $f'(a)$ で表せ:
(a)
$\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{h}.$ 
(b)
$\lim\limits_{x \to a}\dfrac{af(x)-xf(a)}{x-a}.$ 
(c)
$\lim\limits_{x \to a}\dfrac{a^nf(x)-x^nf(a)}{x^n-a^n} \quad (a \neq 0).$ 

解答例

(a)
\begin{align*} &\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} \\ &= \frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{h} \\ &= \left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\right) \\ &\to f'(a)+f'(a) = 2f'(a) \quad (h \to 0). \end{align*} ゆえに, 求める極限値は, $2f'(a).$
(b)
\begin{align*} &\frac{af(x)-xf(a)}{x-a} \\ &= \frac{af(x)-af(a)+af(a)-xf(a)}{x-a} \\ &= \frac{a\big( f(x)-f(a)\big) -(x-a)f(a)}{x-a} \\ &= a\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a) \\ &\to af'(a)-f(a) \quad (x \to a). \end{align*} ゆえに, 求める極限値は, $af'(a)-f(a).$
(c)
\begin{align*} &\frac{a^nf(x)-x^nf(a)}{x^n-a^n} \\ &= \frac{a^nf(x)-a^nf(a)+a^nf(a)-x^nf(a)}{x^n-a^n} \\ &= \frac{a^n\big( f(x)-f(a)\big) -(x^n-a^n)f(a)}{x^n-a^n} \\ &= \frac{a^n}{\sum\limits_{k = 1}^{n-1}a^kx^{n-1-k}}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a) \\ &\to \frac{a^n}{na}f'(a)-f(a) = \frac{a^{n-1}}{n}f'(a)-f(a) \quad (x \to a). \end{align*} ゆえに, 求める極限値は, $\dfrac{a^{n-1}}{n}f'(a)-f(a).$

問題≪加法的関数の導関数≫

 実数全体を定義域とする実数値関数 $f(x)$ が, 任意の実数 $x,$ $y$ に対して $f(x+y) = f(x)+f(y)$ を満たし, $x = 0$ において微分可能なとき, 次が成り立つことを示せ:
(1)
$f(0) = 0.$ 
(2)
$f(x)$ は微分可能で, $f'(x) = f'(0).$

解答例

(1)
与式に $x = y = 0$ を代入すると, \[ f(0) = f(0)+f(0)\] より, \[ f(0) = 0.\]
(2)
$f(x)$ は $x = 0$ において微分可能だから, $f(0+h)-f(0) = f(h),$ $f(0)= 0$ に注意すると, \[ f'(0) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}.\] 実数 $x$ と $h \neq 0$ に対して, $f(x+h)-f(x) = f(h)$ より, \[\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{f(h)}{h} \to f'(0) \quad (h \to 0).\] ゆえに, $f(x)$ は微分可能で, \[ f'(x) = f'(0).\]

解説: 問題の続き

 $a = f'(0)$ とおく. $f'(x) = a$ の両辺の不定積分をとると $f(x) = ax+C$ ($C$: 定数)となるが, $f(0) = 0$ より $C = 0$ だから, \[ f(x) = ax.\]

問題≪微分方程式を満たす多項式≫

 次の条件を同時に満たす多項式関数 $f(x)$ を求めよ: \[ (x+1)f'(x) = f(x) \quad \cdots [1], \qquad f(0) = 1 \quad \cdots [2].\]

解答例

 $f(x)$ は定数関数ではない.
実際, 仮に $f(x)$ を定数関数とすると, $f'(x) = 0$ より $(x+1)f'(x) = 0$ となり, $[2]$ より $f(x) = 1$ となって, $(x+1)f'(x) \neq f(x)$ となるが, これは $[1]$ に反するからである.
よって, $f(x)$ を $n$ 次関数($n \geqq 1$)とし, その最高次の項を $ax^n$ ($a \neq 0$)とおく.
このとき, $f'(x)$ の最高次の項は $anx^{n-1}$ だから, $[1]$ の両辺の最高次の項を比較すると, \[ x\cdot anx^{n-1} = ax^n\] すなわち $anx^n = ax^n$ より, \[ n = 1.\] また, $[2]$ より $f(x)$ の定数項は $1$ だから, \[ f(x) = ax+1, \quad f'(x) = a.\] よって, $[1]$ より \[ (x+1)a = ax+1\] だから, \[ a = 1.\] ゆえに, \[ f(x) = x+1.\]

関数の増減・極値

問題≪極値による $3$ 次関数の決定≫

 $3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ が $x = 1$ において極大値 $2,$ $x = 3$ において極小値 $x = -2$ をとるとき, 定数 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ の値を求めよ.

解答例

 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ を微分すると, \[ f'(x) = 3ax^2+2bx+c.\] $f(x)$ は $x = 1$ において極大値 $2,$ $x = 3$ において極小値 $-2$ をとるから, \[ f'(1) = 0, \qquad f'(3) = 0, \qquad f(1) = 2, \qquad f(3) = -2\] より, \begin{align*} 3a+2b+c &= 0 \quad \cdots [1], \\ 27a+6b+c &= 0 \quad \cdots [2], \\ a+b+c+d &= 2 \quad \cdots [3], \\ 27a+9b+3c+d &= -2 \quad \cdots [4]. \end{align*} $[4]-[3]$ より $26a+8b+2c = -4$ だから, \[ 13a+4b+c = -2 \quad \cdots [5].\] $[2]-[1]$ より $24a+4b = 0$ だから, \[ 6a+b = 0 \quad \cdots [6].\] $[5]-[1]$ より $10a+2b = -2$ だから, \[ 5a+b = -1.\] $[6]-[7]$ より, \[ a = 1.\] よって, $[6]$ より, \[ b = -6a = -6\cdot 1 = -6.\] $[1]$ より, \[ c = -3a-2b = -3\cdot 1-2\cdot (-6) = 9.\] $[3]$ より, \[ d = 2-a-b-c = 2-1-(-6)-9 = -2.\] したがって, $a = 1,$ $b = -6,$ $c = 9,$ $d = -2$ が与えられた条件の必要条件である.
逆にこのとき, \begin{align*} f(x) &= x^3-6x^2+9x-2, \\ f'(x) &= 3x^2-12x+9 = 3(x-1)(x-3) \end{align*} より, $f(x)$ の増減表は次のようになり, $f(x)$ は与えられた条件を満たす.
$x$$\cdots$$1$$\cdots$$3$$\cdots$
$f'(x)$$+$$0$$-$$0$$+$
$f(x)$$\nearrow$極大$\searrow$極小$\nearrow$
ゆえに, \[ a = 1, \quad b = -6, \quad c = 9, \quad d = -2.\]

問題≪$3$ 次関数の極値の差≫

 $a > 0$ とする. $3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ が $x = \alpha$ において極大値, $x = \beta$ において極小値を持つとき, $f(\alpha )-f(\beta )$ を
(1)
$a,$ $\alpha,$ $\beta$ で表せ.
(2)
$a,$ $b,$ $c$ で表せ.

解答例

(1)
$f(x)$ を微分すると, \[ f'(x) = 3ax^2+2bx+c.\] $f'(x) = 0$ の解と係数の関係より \[\alpha +\beta = -\frac{2b}{3a} \quad \cdots [1], \qquad \alpha\beta = \frac{c}{3a} \quad \cdots [2]\] すなわち \[ b = -\frac{3a}{2}(\alpha +\beta ), \qquad c = 3a\alpha\beta\] だから, \begin{align*} &f(\alpha )-f(\beta ) \\ &= a(\alpha ^3-\beta ^3)+b(\alpha ^2-\beta ^2)+c(\alpha -\beta ) \\ &= a(\alpha +\beta )(\alpha ^2+\alpha\beta +\beta ^2) \\ &\quad -\frac{3a}{2}(\alpha +\beta )^2(\alpha -\beta )+3a\alpha\beta (\alpha -\beta ) \\ &= \frac{a}{2}(\alpha -\beta )\times \\ &\quad \big( 2(\alpha ^2+\alpha\beta +\beta ^2)-3(\alpha ^2+2\alpha\beta +\beta ^2)+6\alpha\beta\big) \\ &= \frac{a}{2}(\alpha -\beta )\big( -(\alpha ^2-2\alpha\beta +\beta ^2)\big) \\ &= -\frac{a}{2}(\alpha -\beta )^3 = \frac{a}{2}(\beta -\alpha )^3 \quad \cdots [3]. \end{align*}
(2)
$[1],$ $[2]$ より, \begin{align*} (\beta -\alpha )^2 &= \alpha ^2-2\alpha\beta +\beta ^2 \\ &= (\alpha ^2+\beta ^2)-2\alpha\beta \\ &= (\alpha +\beta )^2-4\alpha\beta \\ &= \frac{4b^2}{9a^2}-\frac{4c}{3a} \\ &= \frac{4(b^2-3ac)}{9a^2}. \end{align*} $a > 0$ より $\alpha < \beta$ であり, $f(x)$ が極値を持つ条件より $f'(x) = 0$ の判別式について \[ 4(b^2-3ac) > 0\] であることに注意すると, \[\beta -\alpha = \frac{2}{3}\sqrt{b^2-3ac} \quad \cdots [4].\] $[3],$ $[4]$ より, \[ f(\alpha )-f(\beta ) = \frac{4a}{27}(b^2-3ac)^{\frac{3}{2}}.\]

問題≪$3$ 次関数が極値を持つ条件≫

 $a,$ $b,$ $c$ を定数とする. $3$ 次関数 $f(x) = x^3+ax^2+bx+c$ が $0 \leqq x \leqq 1$ において $2$ つの極値を持つとき, $ab$ 平面上において点 $(a,\ b)$ はどのような範囲に存在するか.

解答例

 $f(x)$ を微分すると, \[ f'(x) = 3x^2+2ax+b.\] $f'(x)$ の判別式を $D,$ 放物線 $y = f'(x)$ の対称軸を $x = p$ とすると,
$f(x)$ が $0 \leqq x \leqq 1$ において $2$ つの極値を持つ
$\iff$ $f'(x) = 0$ が $0 \leqq x \leqq 1$ において異なる $2$ つの実数解を持つ
$\iff$ $D > 0,$ $0 \leqq p \leqq 1,$ $f'(0) \geqq 0,$ $f'(1) \geqq 0$
$\iff$ $4(a^2-3b) > 0,$ $0 \leqq -\dfrac{a}{3} \leqq 1,$ $b \geqq 0,$ $2a+b+3 \geqq 0$
$\iff$ $b < \dfrac{a^2}{3},$ $-3 \leqq a \leqq 0,$ $b \geqq 0,$ $b \geqq -2a-3.$
ゆえに, $ab$ 平面上において点 $(a,\ b)$ の存在し得る範囲は, 図の塗色部で境界は放物線上の点を除く.