COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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不等式の表す領域

曲線の通過領域

問題≪直線の通過領域≫

 $t$ が実数全体を動くとき, 直線 $y = 2tx-t^2$ が通過する領域を求めよ.
[2019 三重大*]

解答例

 ある実数 $t$ に対して, 点 $(x,y)$ が直線 $y = 2tx-t^2$ 上にあるとき, $t$ の $2$ 次方程式 \[ t^2-2xt+y = 0\] は実数解をもつから, その判別式 $D$ について
$\dfrac{D}{4} = x^2-y \geqq 0$ つまり $y \leqq x^2$
が成り立つ. ゆえに, 求める領域は, 放物線 $y = x^2$ の下方の部分である. ただし, 境界線上の点を含む.

別解

 直線の方程式 $y = 2tx-t^2$ は \[ y = -(t-x)^2+x^2\] と変形でき, $y \leqq x^2$ が成り立つから, 求める領域は放物線 $y = x^2$ の下方の部分である. ただし, 境界線上の点を含む.

背景

 直線 $y = 2tx-t^2$ は点 $(t,t^2)$ における放物線 $y = x^2$ の接線であり, 放物線 $y = x^2$ は方程式が $y = 2tx-t^2$ ($t$: 実数)の形に表される直線すべてに接する曲線として定まる. 一般に, $t$ がさまざまな値をとるとき, $x$ と $y$ の方程式 $f(x,y,t) = 0$ で表される曲線すべてに接する定曲線を, それらの曲線の「包絡線」(envelope)と呼ぶ.

領域と最大・最小

問題≪じゃんけんに関する線形計画問題≫

 A, B の $2$ 人が $1$ 回じゃんけんを行う. グー, チョキ, パーを出す確率はそれぞれ, A が $p,$ $q,$ $1-p-q,$ B が $x,$ $y,$ $1-x-y$ であり, $2$ 人の手の出し方は独立であるとする. B が勝つ確率 $w,$ 負ける確率 $l$ について, $d = w-l$ とおく.
(1)
$x,$ $y,$ $p,$ $q$ を用いて $d$ を表せ.
(2)
次のように $p,$ $q$ の値をとるとき, $d$ を最大にする $x,$ $y$ の値を求めよ.
(i)
$p < \dfrac{1}{3} < q$ かつ $p+q > \dfrac{2}{3}$ のとき.
(ii)
$p > \dfrac{1}{3}$ かつ $q > \dfrac{1}{3}$ のとき.
[福井医大*]

解答例

(1)
B が勝つのは, A, B が (グー, パー), (チョキ, グー), (パー, チョキ) を出す場合だから, その確率 $w$ は \[ w = p(1-x-y)+qx+(1-p-q)y\] である. 同様に, B が負ける確率 $l$ は, \[ l = py+q(1-x-y)+(1-p-q)x\] である. ゆえに, $d = w-l$ は \[ d = 3qx-3py-x+y+p-q\] と表される.
(2)
$d = (3q-1)x+(1-3p)y+p-q$ であるから, 条件 \[ 0 \leqq x \leqq 1\ \cdots [1], \quad 0 \leqq y \leqq 1\ \cdots[2]\] と, $0 \leqq 1-x-y \leqq 1$ つまり \[ 0 \leqq x+y \leqq 1\ \cdots [3]\] のもとで, $k = (3q-1)x+(1-3p)y$ を最大にする $x,$ $y$ の値を求めればよい.
(i)
$p < \dfrac{1}{3} < q$ かつ $p+q > \dfrac{2}{3}$ のとき. $\dfrac{1-3q}{1-3p} < -1$ であるから, 直線 \[ y = \frac{1-3q}{1-3p}x+\frac{k}{1-3p}\ \cdots [4]\] が $[1]$~$[3]$ の表す領域を通るとき, $[4]$ の $y$ 切片 $\dfrac{k}{1-3p}$ は $(x,y) = (1,0)$ において最大となる. $1-3p > 0$ であるから, このとき $k$ は最大となる.
(ii)
$p > \dfrac{1}{3}$ かつ $q > \dfrac{1}{3}$ のとき. $\dfrac{1-3q}{1-3p} > 0$ であるから, 直線 $[4]$ が $[1]$~$[3]$ の表す領域を通るとき, $[4]$ の $y$ 切片 $\dfrac{k}{1-3p}$ は $(x,y) = (1,0)$ において最小となる. $1-3p < 0$ であるから, このとき $k$ は最大となる.
ゆえに, (i), (ii) いずれの場合にも, $d$ を最大にする $x,$ $y$ の値は $(x,y) = (1,0)$ である.

背景

  • (i) は A がチョキを出す確率が他の手よりも高い場合, (ii) は A がパーを出す確率が他の手よりも低い場合を表す. これらの場合には, B が必ずグーを出すようにすれば, B の勝つ確率と負ける確率の差が最大になることがわかった.
  • 上記のように, いくつかの $1$ 次不等式で与えられる条件のもとで $1$ 次式の最大値・最小値を求める問題を「線形計画問題」(linear programming problem)と呼ぶ.