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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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微分法の方程式への応用(数学 II)

微分法の方程式への応用

問題≪チェビシェフ多項式にまつわる方程式≫

 $a$ を実数の定数とする.
(A)
$4x^3-3x = a$ 
(B)
$8x^4-8x^2+1 = a$ 
の異なる実数解の個数をそれぞれ調べよ.

解答例

(A)
$f(x) = 4x^3-3x$ とおく. このとき, \begin{align*} f'(x) &= 12x^2-3 = 12\left( x^2-\frac{1}{4}\right) \\ &= 12\left( x+\frac{1}{2}\right)\left( x-\frac{1}{2}\right) \end{align*} から, $f(x)$ の増減は下の表のようになる.
$x$$\cdots$$-\dfrac{1}{2}$$\cdots$$\dfrac{1}{2}$$\cdots$
$f'(x)$$+$$0$$-$$0$$+$
$f(x)$$\nearrow$極大$\searrow$極小$\nearrow$
よって, $f(x)$ は, $x = -\dfrac{1}{2}$ のとき極大値 $1,$ $x = \dfrac{1}{2}$ のとき極小値 $-1$ をとり, $f(x)$ のグラフ $y = f(x)$ の概形は下の図のようになる.
ゆえに, 与えられた方程式 $f(x) = a$ の異なる実数解の個数は, 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しく, $a < -1,$ $1 < a$ のとき $1$ 個, $a = \pm 1$ のとき $2$ 個, $-1 < a < 1$ のとき $3$ 個である.
(B)
$g(x) = 8x^4-8x^2+1$ とおく. このとき, \begin{align*} g'(x) &= 32x^3-16x = 32x\left( x^2-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 32x\left( x+\frac{1}{\sqrt 2}\right)\left( x-\frac{1}{\sqrt 2}\right) \end{align*} から, $g(x)$ の増減は下の表のようになる.
$x$$\cdots$$-\dfrac{1}{\sqrt 2}$$\cdots$$0$$\cdots$$\dfrac{1}{\sqrt 2}$$\cdots$
$g'(x)$$-$$0$$+$$0$$-$$0$$+$
$g(x)$$\searrow$極小$\nearrow$極大$\searrow$極小$\nearrow$
よって, $g(x)$ は, $x = 0$ のとき極大値 $1,$ $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt 2}$ のとき極小値 $-1$ をとり, $g(x)$ のグラフ $y = g(x)$ の概形は下の図のようになる.
ゆえに, 与えられた方程式 $g(x) = a$ の異なる実数解の個数は, 曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しく, $a < -1$ のとき $0$ 個, $a = -1,$ $a > 1$ のとき $2$ 個, $a = 1$ のとき $3$ 個, $-1 < a < 1$ のとき $4$ 個である.

背景

 $3$ 倍角, $4$ 倍角の公式から, 上記の関数 $f(x) = 4x^3-3x,$ $g(x) = 8x^4-8x^2+1$ は $\cos 3\theta = f(\cos\theta ),$ $\cos 4\theta = g(\cos\theta )$ を満たす. このように, $\cos n\theta = T_n(\cos\theta )$ を満たす多項式 $T_n(x)$ を「第一種チェビシェフ多項式」(Chebyshev polynomial of the first kind)と呼ぶ(こちらを参照).