? 同値関係

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同値関係

理論

定義と例

定義≪同値関係≫

 集合 $X$ 上の関係 $\sim$ が次の条件をすべて満たすとき, $\sim$ を同値関係(equivalence relation)と呼ぶ.
(E1)
反射律(reflexive law): 任意の $x \in X$ に対して, $x \sim x$ が成り立つ.
(E2)
対称律(symmetric law): 任意の $x,$ $y \in X$ に対して, $x \sim y$ ならば $y \sim x$ が成り立つ.
(E3)
推移律(transitive law): 任意の $x,y,z \in X$ に対して, $x \sim y,$ $y \sim z$ ならば $x \sim z$ が成り立つ.

例≪同値関係≫

(1)
$X$ を任意の集合とする. $X$ 上の等号関係, つまり $X$ の $2$ 元が等しいという関係 $=$ は, $X$ 上の同値関係である. また, 任意の $x,$ $x' \in X$ に対して $x \sim x'$ であると定めると, $\sim$ は $X$ 上の同値関係になる.
(2)
整数全体を $\mathbb Z$ で表す. $m \in \mathbb Z,$ $m > 0$ とする. $a,$ $b \in \mathbb Z$ に対して $a-b$ が $m$ の倍数であるとき, $a \equiv b \pmod m$ と表す. このように定義される $\mathbb Z$ 上の関係 $\equiv \pmod m$ は同値関係である. このことは, $a,$ $b,$ $c \in \mathbb Z$ に対して $a-a = 0,$ $b-a = -(a-b),$ $a-c = (a-b)+(b-c)$ であることから従う. この同値関係を $m$ を法とする合同関係と呼ぶ.
(3)
$f:X \to Y$ を任意の写像とする. $x,$ $x' \in X$ に対して $f(x) = f(x')$ のときに限り $x \sim x'$ と定めると, $\sim$ は $X$ 上の同値関係となる. これを写像 $f$ に付随する同値関係と呼ぶ.

例≪同値関係でない関係≫







じゃんけんの出し手 $a,$ $b$ について, $b$ が負けない×
整数 $a,$ $b$ について, $a \leqq b$×
整数 $a,$ $b$ について, $ab \neq 0$×
整数 $a,$ $b$ について, $a \leqq b \leqq a+1$××
集合 $A,$ $B$ について, $A \cap B = \varnothing$××
整数 $a,$ $b$ について, $a < b$××
整数 $a,$ $b$ について, $a \leqq ab \leqq b$×××
最後の推移律の反例としては, $-1 \leqq -1\cdot 0 \leqq 0,$ $0 \leqq 0\cdot 2 \leqq 2$ かつ $-1 > -1\cdot 2 \leqq 2$ であることなどが挙げられる.

定義≪商集合≫

(1)
集合 $X$ と $X$ 上の同値関係 $\sim,$ $x_0 \in X$ に対して, 集合 \[\{ x \in X|x \sim x_0\}\] を $\sim$ に関する $x_0$ の同値類(equivalence class)または $x_0$ の(class)と呼び, $x_0$ をその代表(representative)と呼ぶ. この集合は $C_\sim (x_0),$ $[x_0],$ $\overline{x_0}$ などで表すことが多い. また, ある $x_0 \in X$ の同値類であるような集合を $X$ の $\sim$ に関する同値類と呼ぶ. $X$ の $\sim$ に関する同値類全体の成す集合を $X$ の $\sim$ による商集合(quotient set)と呼び, $X/\sim$ で表す.
(2)
$X$ 上の同値関係 $\sim$ について, $x$ を $x$ の同値類 $[x]$ に対応させる写像 $X \to X/\sim$ を標準的射影(canonical projection)と呼ぶ.

例≪商集合≫

(1)
$X$ を任意の集合とする. $X$ 上の等号関係について, $x \in X$ の同値類は $\{ x\}$ であり, $X/=$ は $X$ と同一視される. また, 任意の $x,$ $x' \in X$ に対して $x \sim x'$ であるとして定まる同値関係 $\sim$ について, $X/\sim$ は唯 $1$ つの元 $X$ から成る.
(2)
$m \in \mathbb Z,$ $m > 0$ とする. $\mathbb Z$ の合同関係 $\equiv \pmod m$ による商集合を $\mathbb Z/m\mathbb Z$ で表す. $\mathbb Z/m\mathbb Z$ は, $m$ で割ったときの余りが等しい整数の成す集合 $\{ mq+r|q \in \mathbb Z\}\ (0 \leqq r < m),$ $m$ 個から成る.
(3)
有理数の定義: $(a,b),$ $(a',b') \in \mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})$ に対して, $ab' = a'b$ のときに限り $(a,b) \sim (a',b')$ と定めると, $\sim$ は $\mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})$ 上の同値関係になる(証明はこちらを参照). $\mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})/\sim$ の元を有理数と呼び, $(a,b)$ の同値類を $\dfrac{a}{b}$ で表す.

同値関係と集合の分割

定義≪集合の分割≫

 集合 $X$ の空でない部分集合から成る集合系 $\mathfrak M$ で \begin{align*} &X = \bigcup\mathfrak M, \\ &C,C' \in \mathfrak M,\ C \neq C' \iff C\cap C' = \varnothing \end{align*} を満たすものを $X$ の分割(partition)と呼ぶ. $X$ の分割を定義することを $X$ を分割するという.
 $X$ の同値関係を定めることと $X$ を分割することは, 次の定理により本質的に同じである.

定理≪商集合と集合の分割≫

 $X$ を空でない任意の集合とする.
(1)
$X$ 上の任意の同値関係 $\sim$ に対して, $X/\sim$ は $X$ の分割である, つまり \begin{align*} &X = \bigcup\limits_{C \in X/\sim}C, \\ &C,C' \in X/\sim,\ C \neq C' \iff C\cap C' = \varnothing \end{align*} が成り立つ.
(2)
$\mathfrak M$ を $X$ の分割とする. このとき, $x,$ $x' \in X$ に対して, $x,$ $x' \in C$ なる $C \in \mathfrak M$ が存在するときに限り $x \sim x'$ であると定めると, $\sim$ は $X$ 上の同値関係になる.

商集合の普遍性

定理≪商集合の普遍性≫

 $\sim$ を集合 $X$ 上の同値関係とする. 写像 $f:X \to Y$ が \[ x \sim x' \Longrightarrow f(x) = f(x') \quad (x,x' \in X)\] を満たすとき, $f = \bar f\circ\pi$ を満たす写像 $\bar f:X/\sim \to Y$ が唯 $1$ つ存在する.

問題

同値関係

問題≪有理数の定義≫

 整数全体を $\mathbb Z$ で表す. $(a,b),$ $(a',b') \in \mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})$ に対して, $ab' = a'b$ のときに限り $(a,b) \sim (a',b')$ と定めると, $\sim$ は $\mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})$ 上の同値関係になることを示せ.

解答例

 $(a,b),$ $(a',b'),$ $(a'',b'') \in \mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})$ とする.
(E1)
反射律: $ab = ab$ から, $(a,b) \sim (a,b)$ が成り立つ.
(E2)
対称律: $(a,b) \sim (a',b')$ つまり $ab' = a'b$ のとき, $a'b = ab'$ つまり $(a',b') \sim (a,b)$ が成り立つ.
(E3)
推移律: $(a,b) \sim (a',b')$ かつ $(a',b') \sim (a'',b''),$ つまり $ab' = a'b$ かつ $a'b'' = a''b'$ のとき, \[ (ab''-a''b)b' = ab'b''-a''b'b = a'bb''-a'b''b = 0\] と $b' \neq 0$ から, $ab'' = a''b$ つまり $(a,b) \sim (a'',b'')$ が成り立つ.
(E1)~(E3) から, $\sim$ は $\mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{ 0\})$ 上の同値関係である.