COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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整関数の極値

整関数の極値

問題≪$3$ 次関数のグラフの対称性≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ $(a \neq 0)$を実数とする. $3$ 次関数 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とそのグラフ $C:y = f(x)$ 上の点 $\mathrm M\left( -\dfrac{b}{3a},f\left( -\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ について, 次のことを示せ.
(A)
$C$ は点 $\mathrm M$ に関して対称である.
(B)
$f(x)$ が $x = \alpha$ で極大値, $x = \beta$ で極小値をとるとき, $2$ 点 $\mathrm A(\alpha,f(\alpha )),$ $\mathrm B(\beta,f(\beta ))$ を結ぶ線分の中点は $\mathrm M$ に一致する.

解答例

 $p = -\dfrac{b}{3a},$ $q = f(p)$ とおく.
(A)
このとき, $C$ を $x$ 軸方向に $-p,$ $y$ 軸方向に $-q$ だけ平行移動した曲線 $C_0$ の方程式は, \[ y+q = f(x+p)\] つまり \begin{align*} y &= f(x+p)-q \\ &= a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d-q \\ &= ax^3+(3ap+b)x^2+(3ap^2+2bp+c)x \\ &\qquad +(ap^3+bp^2+cp+d)-q \\ &= ax^3+(3ap^2+2bp+c)x \end{align*} である. 右辺は $x$ の奇関数であるから, $C_0$ は原点に関して対称である. $C$ は, $C_0$ を $x$ 軸方向に $p,$ $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線であるから, 点 $\mathrm M(p,q)$ に関して対称である.
(B)
平行移動しても線分とその中点の関係は変わらないから, $\mathrm M = \mathrm O$ の場合に \[\frac{\alpha +\beta}{2} = 0\ \cdots [1], \quad \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2} = 0\ \cdots [2]\] を示せば十分である. このとき, $p = 0,$ $q = f(p) = f(0) = 0$ から, $b = d = 0$ であり, \[ f(x) = ax^3+cx, \quad f'(x) = 3ax^2+c\] である. $\alpha,$ $\beta$ は $f'(x) = 0$ の解であるから, 解と係数の関係により, \[\alpha +\beta = 0\] が成り立ち, $[1]$ が従う. さらに, \begin{align*} \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2} &= \frac{a\alpha ^3+c\alpha +a\beta ^3+c\beta}{2} \\ &= \frac{a(\alpha ^3+\beta ^3)+c(\alpha +\beta )}{2} \\ &= \frac{a(\alpha\!+\!\beta )(\alpha ^2\!+\!\alpha\beta\!+\!\beta ^2)\!+\!c(\alpha\!+\!\beta )}{2} \\ &= 0 \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ. 以上から, 線分 $\mathrm{AB}$ の中点は $\mathrm M$ に一致する.

背景

  • 一般に, 実数値関数 $f(x)$ に対して, \begin{align*} &y = f(x)\text{ が点 }(p,q)\text{ に関して対称} \\ &\iff y+q = f(x+p)\text{ が原点に関して対称} \\ &\iff f(-x+p)-q = -f(x+p)+q \\ &\iff f(x+p)-q\text{ が奇関数} \end{align*} が成り立つ.
  • 一般に, 実数値関数 $f(x)$ は偶関数 $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ と奇関数 $\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ の和として \[ f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}\] と一意的に表すことができる. 多項式関数の場合には, 偶関数の部分が偶数次の項の和, 奇関数の部分が奇数次の項の和となる. よって, 多項式関数が偶関数のとき偶数次の項の係数は $0$ であり, 奇関数のとき奇数次の項の係数は $0$ である.

問題≪$4$ 次関数のグラフの対称性≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ $(a \neq 0)$を実数とする. $4$ 次関数 $f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ とそのグラフ $C:y = f(x)$ について, 次の問いに答えよ.
(A)
$C$ が $y$ 軸に平行な直線 $x = p$ に関して対称であるとする. このとき, $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ を用いて $p$ を表し, $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ の関係式を求めよ.
(B)
$f(x)$ がある実数 $x = p$ に関して対称な $2$ 点において等しい極値をとるならば, $C$ は直線 $x = p$ に関して対称であり, $f(x)$ は $x = p$ においても極値をとることを示せ.

解答例

(A)
$C$ を $x$ 軸方向に $-p$ だけ平行移動した曲線の方程式は, \[ y = a(x\!+\!p)^4\!+\!b(x\!+\!p)^3\!+\!c(x\!+\!p)^2\!+\!d(x\!+\!p)\!+\!e\] である. この曲線は $y$ 軸に関して対称であり, 右辺は偶関数であるから, $3$ 次, $1$ 次の項の係数は $0$ であり, \begin{align*} 4ap+b &= 0 \quad \cdots [1], \\ 4ap^3+3bp^2+2cp+d &= 0 \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ. $[1]$ から, \[ p = -\frac{b}{4a}\] が得られる. これを $[2]$ に代入すると \begin{align*} -\frac{b^3}{16a^2}+\frac{3b^3}{16a^2}-\frac{bc}{2a}+d &= 0 \\ \frac{b^3}{8a^2}-\frac{bc}{2a}+d &= 0 \end{align*} となるから, 求める関係式は \[ b^3-4abc+8a^2d = 0\] である.
(B)
平行移動を考えることにより, $p = 0$ の場合を示せばよい. $f(x)$ が $x = \pm\alpha$ $(\alpha > 0)$ において等しい極値をとるとする. このとき, $f(\alpha ) = f(-\alpha )$ つまり \[ a\alpha ^4\!+\!b\alpha ^3\!+\!c\alpha ^2\!+\!d\alpha\!+\!e = a\alpha ^4\!-\!b\alpha ^3\!+\!c\alpha ^2\!-\!d\alpha\!+\!e\] であるから, \begin{align*} 2b\alpha ^3+2d\alpha &= 0 \\ b\alpha ^2+d &= 0 \quad \cdots [1] \end{align*} が成り立つ. また, \[ f'(\pm\alpha ) = 0\] であり, \[ f'(x) = 4ax^3+3bx^2+2cx+d\] であるから, \begin{align*} 4a\alpha ^3+3b\alpha ^2+2c\alpha +d &= 0, \quad \cdots [2] \\ -4a\alpha ^3+3b\alpha ^2-2c\alpha +d &= 0 \quad \cdots [3] \end{align*} が成り立つ. $[2]-[3]$ から \begin{align*} 8a\alpha ^3+4c\alpha &= 0 \\ 2a\alpha ^2+c &= 0 \end{align*} が成り立つ. これを $[2]$ つまり \[ 2\alpha (2a\alpha ^2+c)+3b\alpha ^2+d = 0\] に代入すると, \[ 3b\alpha ^2+d = 0 \quad \cdots [4]\] が得られる. よって, $[1],$ $[4]$ から, \[ b = d = 0\] が成り立つ. したがって, $f(x)$ は偶関数であるから, $y = f(x)$ は直線 $x = 0$ に関して対称である. さらに, このとき \[ f'(x) = 4ax^3+2cx = 2x(2ax^2+c)\] であるから, $f'(x) = 0$ は $3$ つの実数解 $x = 0,$ $\pm\alpha$ をもつ. $f'(x)$ の符号は $x = 0,$ $\pm\alpha$ の前後で入れ替わるから, $f(x)$ は $x = 0$ でも極値をとる. これで, 題意が示された.

背景

 一般に, 実数値関数 $f(x)$ に対して, \begin{align*} &y = f(x)\text{ が直線 }x = p\text{ に関して対称} \\ &\iff y = f(x+p)\text{ が }y\text{ 軸に関して対称} \\ &\iff f(-x+p) = f(x+p) \\ &\iff f(x+p)\text{ が偶関数} \end{align*} が成り立つ.