COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

因数分解

問題

因数分解

問題≪ブラーマグプタの恒等式≫

(1)
$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ を因数分解せよ.
(2a)
$2$ つの平方数の和として $2$ 通りに表される整数を見つけよ.
(2b)
実数 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ が $a^2+b^2 = c^2+d^2 = ac+bd = 1$ を満たすとき, $ad-bc,$ $a^2+d^2,$ $b^2+c^2$ の値を求めよ.

解答例

(1)
与式を展開して整理すると, \begin{align*} &(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \\ &= (a^2c^2+2abcd+b^2d^2)+(a^2d^2-2abcd+b^2c^2) \\ &= a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2) \\ &= (a^2+b^2)(c^2+d^2) \quad \cdots [1]. \end{align*}
(2a)
$[1]$ を使うと, $65 = 7^2+4^2 = 8^2+1^2$ が見つけられる.
(2b)
$[1]$ から得られる等式 \begin{align*} (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2 \end{align*} に条件式 \begin{align*} a^2+b^2 &= 1 \quad \cdots [2], \\ c^2+d^2 &= 1 \quad \cdots [3], \\ ac+bd &= 1 \quad \cdots [4] \end{align*} を代入すると $(ad-bc)^2 = 1\cdot 1-1^2 = 0$ となるから, \[ ad-bc = 0 \quad \cdots [5].\] $d\times [4]-c\times [5]$ と $[3]$ より, \[ b = b(d^2+c^2) = d.\] これと $[2],$ $[3]$ より, \begin{align*} a^2+d^2 &= a^2+b^2 = 1, \\ b^2+c^2 &= d^2+c^2 = 1. \end{align*}
 有名恒等式の応用問題として, 次の問題も参照されたい.