COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ベクトルと図形

共線条件

問題≪ニュートンの定理≫

 四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, 対辺 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{CD}$ の延長が点 $\mathrm E$ で交わり, 対辺 $\mathrm{AD},$ $\mathrm{BC}$ の延長が点 $\mathrm F$ で交わるとする. 線分 $\mathrm{AC},$ $\mathrm{BD},$ $\mathrm{EF}$ の中点をそれぞれ $\mathrm L,$ $\mathrm M,$ $\mathrm N$ とおく.
(1)
$\overrightarrow{\mathrm{AE}} = s\overrightarrow{\mathrm{AB}},$ $\overrightarrow{\mathrm{AF}} = t\overrightarrow{\mathrm{AD}},$ $\mathrm{BC}:\mathrm{CF} = x:(1-x)$ とおく. $s,$ $t$ を用いて $x$ を表せ.
(2)
$3$ 点 $\mathrm L,$ $\mathrm M,$ $\mathrm N$ は一直線上にあることを示せ.

解答例

(1)
$\triangle\mathrm{FAB}$ と直線 $\mathrm{DE}$ にメネラウスの定理を適用すると \[\frac{s}{s-1}\cdot\frac{x}{1-x}\cdot\frac{t-1}{1} = 1\] となるから, これを $x$ について解くと \[ x = \frac{s-1}{st-1}\] が得られる.
(2)
$\vec b = \overrightarrow{\mathrm{AB}},$ $\vec d = \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ とおく. このとき, (1) の結果から \begin{align*} &\overrightarrow{\mathrm{AL}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \frac{1}{2}\{ (1-x)\vec b+xt\vec d\} \\ &= \frac{s(t-1)\vec b+(s-1)t\vec d}{2(st-1)} \quad \left(\because 1-x = \frac{s(t-1)}{st-1}\right) \end{align*} が得られる. また, \[\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \frac{\vec b+\vec d}{2}, \quad \overrightarrow{\mathrm{AN}} = \frac{s\vec b+t\vec d}{2}\] であるから, \begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{LM}} &= \overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{AL}} \\ &= \frac{\vec b+\vec d}{2}-\frac{s(t-1)\vec b+(s-1)t\vec d}{2(st-1)} \\ &= \frac{(s-1)\vec b+(t-1)\vec d}{2(st-1)}, \\ \overrightarrow{\mathrm{MN}} &= \overrightarrow{\mathrm{AN}}-\overrightarrow{\mathrm{AN}} \\ &= \frac{s\vec b+t\vec d}{2}-\frac{\vec b+\vec d}{2} \\ &= \frac{(s-1)\vec b+(t-1)\vec d}{2} \end{align*} が成り立つ. ゆえに, \[\overrightarrow{\mathrm{MN}} = (st-1)\overrightarrow{\mathrm{LM}}\] であるから, $3$ 点 $\mathrm L,$ $\mathrm M,$ $\mathrm N$ は一直線上にある.

背景

  • 平行四辺形でない四角形において, 対角線の中点を結ぶ直線を「ニュートン線」(Newton line)と呼ぶ.
  • 向かい合う辺の中点を結ぶ直線の交点は「ニュートン線」上にあることも知られている.