COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$3$ 次方程式の解の公式

カルダノの解法

定理≪カルダノの解法≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ を $a \neq 0$ なる複素数とする. $3$ 次方程式 \[ ax^3+bx^2+cx+d = 0 \quad \cdots [\ast ]\] の解は次の方法で求められる.
(0)
$[\ast ]$ の両辺を $a$ で割り, 方程式 \[ x^3+\ell x^2+mx+n = 0 \quad \cdots [0]\] を得る. ただし, \[\ell = \frac{b}{a},\ m = \frac{c}{a},\ n = \frac{d}{a}\] である.
(1)
$[0]$ に変数変換 $X = x+\dfrac{\ell}{3}$ を行い, 方程式 \[ X^3+3pX+2q = 0 \quad \cdots [1]\] を得る. ただし, \[ 3p = -\frac{\ell ^2}{3}+m,\ 2q = \frac{2\ell ^3}{27}-\frac{\ell m}{3}+n\] である. この変形は, しばしば立方完成と呼ばれる.
(2)
$[1]$ の解は, \[ X = \omega ^k\sqrt[3]{\lambda}+\omega ^{3-k}\sqrt[3]{\mu} \quad (k \in \{ 0,\ 1,\ 2\}) \quad \cdots [2]\] である. ただし, \begin{align*} \lambda &= -q+\sqrt{q^2+p^3},\ \mu = -q-\sqrt{q^2+p^3}, \\ \omega &= \frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\ \omega ^2 = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2} \end{align*} である.
(3)
$x = X-\dfrac{\ell}{3}$ より, $[\ast ]$ の解を求める.

証明

(1)
\[\left( X-\frac{\ell}{3}\right) ^3 = X^3-\ell X^2+\frac{\ell ^2}{3}X-\frac{\ell ^3}{27}\] であるから, $x = X-\dfrac{\ell}{3}$ を代入することにより, $[\ast ]$ の $2$ 次の項を消去できる. 計算の詳細は省略する.
(2)
$X = u+v$ とおくと, $(u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$ から, \[ [1] \iff u^3+v^3+3(uv+p)(u+v)+2q = 0\] となる. よって, \[ u^3+v^3+2q = uv+p = 0 \quad \cdots [1]'\] が成り立てば, $[1]$ の解が求まる. \[ [1]' \iff u^3+v^3 = -2q,\ u^3v^3 = -p^3\] から, $2$ 次方程式 \[ t^2+2qt-p^3 = 0\] の解として \[ u^3 = -q+\sqrt{q^2+p^3} = \lambda,\ v^3 = -q-\sqrt{q^2+p^3} = \mu\] をとると, $u^3v^3 = -p^3$ から $[1]'$ を満たす $u,$ $v$ は \[ (u,v) = (\omega ^k\sqrt[3]{\lambda},\omega ^{3-k}\sqrt[3]{\mu}) \quad (k \in \{ 0,1,2\})\] の $3$ 通りに定まる. よって, $[1]$ の解は, $[2]$ の $3$ 個である.

問題

数学 II: 複素数と方程式

問題≪カルダノによる $3$ 次方程式の解法≫

 $3$ 次方程式 $x^3-x-1 = 0\ \cdots [1]$ について, 次の問いに答えよ.
(1)
$x = u+v$ であり, $u^3+v^3-1 = 3uv-1 = 0\ \cdots [2]$ であるならば, $[1]$ が成り立つことを示せ.
(2)
$[2]$ を満たす複素数 $u,$ $v$ について, $u^3,$ $v^3$ を解にもつ $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(3)
$1$ の虚数立方根 $\omega = \dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}$ を用いて $[1]$ の解を表せ.

解答例

 こちらを参照.