COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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$3$ 次方程式の解の公式

カルダノの解法

定理≪カルダノの解法≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ を $a \neq 0$ なる複素数とする. $3$ 次方程式 \[ ax^3+bx^2+cx+d = 0 \quad \cdots [\ast ]\] の解は次の方法で求められる.
(0)
$[\ast ]$ の両辺を $a$ で割り, 方程式 \[ x^3+\ell x^2+mx+n = 0 \quad \cdots [0]\] を得る. ただし, \[\ell = \frac{b}{a},\ m = \frac{c}{a},\ n = \frac{d}{a}\] である.
(1)
$[0]$ に変数変換 $X = x+\dfrac{\ell}{3}$ を行い, 方程式 \[ X^3+3pX+2q = 0 \quad \cdots [1]\] を得る. ただし, \[ 3p = -\frac{\ell ^2}{3}+m,\ 2q = \frac{2\ell ^3}{27}-\frac{\ell m}{3}+n\] である. この変形は, しばしば立方完成と呼ばれる.
(2)
$[1]$ の解は, \[ X = \omega ^k\sqrt[3]{\lambda}+\omega ^{3-k}\sqrt[3]{\mu} \quad (k \in \{ 0,\ 1,\ 2\}) \quad \cdots [2]\] である. ただし, \begin{align*} \lambda &= -q+\sqrt{q^2+p^3},\ \mu = -q-\sqrt{q^2+p^3}, \\ \omega &= \frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\ \omega ^2 = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2} \end{align*} である.
(3)
$x = X-\dfrac{\ell}{3}$ より, $[\ast ]$ の解を求める.

証明

(1)
\[\left( X-\frac{\ell}{3}\right) ^3 = X^3-\ell X^2+\frac{\ell ^2}{3}X-\frac{\ell ^3}{27}\] であるから, $x = X-\dfrac{\ell}{3}$ を代入することにより, $[\ast ]$ の $2$ 次の項を消去できる. 計算の詳細は省略する.
(2)
$X = u+v$ とおくと, $(u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$ から, \[ [1] \iff u^3+v^3+3(uv+p)(u+v)+2q = 0\] となる. よって, \[ u^3+v^3+2q = uv+p = 0 \quad \cdots [1]'\] が成り立てば, $[1]$ の解が求まる. \[ [1]' \iff u^3+v^3 = -2q,\ u^3v^3 = -p^3\] から, $2$ 次方程式 \[ t^2+2qt-p^3 = 0\] の解として \[ u^3 = -q+\sqrt{q^2+p^3} = \lambda,\ v^3 = -q-\sqrt{q^2+p^3} = \mu\] をとると, $u^3v^3 = -p^3$ から $[1]'$ を満たす $u,$ $v$ は \[ (u,v) = (\omega ^k\sqrt[3]{\lambda},\omega ^{3-k}\sqrt[3]{\mu}) \quad (k \in \{ 0,1,2\})\] の $3$ 通りに定まる. よって, $[1]$ の解は, $[2]$ の $3$ 個である.

問題

数学 II: 複素数と方程式

問題≪カルダノによる $3$ 次方程式の解法≫

 $3$ 次方程式 $x^3-x-1 = 0\ \cdots [1]$ について, 次の問いに答えよ.
(1)
$x = u+v$ であり, $u^3+v^3-1 = 3uv-1 = 0\ \cdots [2]$ であるならば, $[1]$ が成り立つことを示せ.
(2)
$[2]$ を満たす複素数 $u,$ $v$ について, $u^3,$ $v^3$ を解にもつ $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(3)
$1$ の虚数立方根 $\omega = \dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}$ を用いて $[1]$ の解を表せ.

解答例

(1)
$x = u+v$ のとき, $u^3+v^3-1 = 3uv-1 = 0\ \cdots [2]$ ならば, \begin{align*} x^3-x-1 &= (u+v)^3-(u+v)-1 \\ &= u^3+v^3+3uv(u+v)-(u+v)-1 \\ &= (u^3+v^3-1)+(3uv-1)(u+v) \\ &= 0+0\cdot (u+v) = 0 \quad \cdots [1] \end{align*} が成り立つ.
(2)
複素数 $u,$ $v$ が $[2]$ を満たすとする. このとき, \[ u^3+v^3 = 1, \quad u^3v^3 = (uv)^3 = \left(\frac{1}{3}\right) ^3 = \dfrac{1}{27}\] となるので, $2$ 次方程式の解と係数の関係により, $u^3,$ $v^3$ を解にもつ $2$ 次方程式 \[ t^2-t+\dfrac{1}{27} = 0 \quad \cdots [3]\] が得られる.
(3)
$[3]$ を解くと, $2$ 次方程式の解の公式により \[ t = \frac{1}{2}\left( 1\pm\sqrt{1-\frac{4}{27}}\right) = \frac{1}{2}\pm\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}\] となる. よって, $u^3 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{23}{3}},$ $v^3 = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{23}{3}}$ とすると, \begin{align*} u &= \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega ^k, \\ v &= \sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega ^l \quad (k,l \in \{ 0,1,2\}) \end{align*} となる. この $u,$ $v$ は $u^3+v^3-1 = 0$ を満たす. \begin{align*} uv &= \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}\right)}\omega ^{k+l} \\ &= \sqrt[3]{\frac{1}{4}-\frac{23}{4\cdot 27}}\omega ^{k+l} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}\omega ^{k+l} = \frac{1}{3}\omega ^{k+l} \end{align*} から, $3uv-1 = 0$ となるのは $(k,l) = (0,0),$ $(1,2),$ $(2,1)$ の場合に限る. (1) で示したことから, これらの場合に $x = u+v$ は $[1]$ の解になる. $3$ 次方程式の解は $3$ つしかないから, $[1]$ の解は \begin{align*} x = &\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}, \\ &\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega +\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega ^2, \\ &\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega ^2+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\omega \end{align*} と表される.

背景

 $2$ 次方程式に解の公式が存在するように, $3$ 次方程式, $4$ 次方程式にも解の公式が存在することが知られている. $3$ 次方程式 $x^3+lx^2+mx+n = 0$ ($l,$ $m,$ $n$: 定数)は, $x = X-\dfrac{l}{3}$ を代入して整理すると, $X^3+3pX+2q = 0$ ($p,$ $q$: 定数)の形に変形できる. この方程式の解は, $\omega$ を $1$ の虚数立方根の $1$ つとすると, \[ X = \sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}\omega ^k+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}\omega ^{3-k}\] ($k \in \{ 0,1,2\}$)と表される. この公式を導く解法はそれを世に広めた『アルス・マグナ』の著者にちなんで「カルダノの解法」(Cardano's method)と呼ばれることが多いが, 発見者はS・デル・フェッロまたはN・フォンタナ(タルタリア)であるとされている.
 方程式 $x^3 = x+1$ の実数解は「プラスチック数」(plastic number)と呼ばれ, \[ P_1 = P_2 = 1,\ P_3 = 2, \quad P_{n+3} = P_n+P_{n+1}\] で定義される「パドヴァン数列」(Padovan sequence) $\{ P_n\}$ の隣り合う $2$ 項の比の極限に等しいことが知られている. なお,「フィボナッチ数列」が正方形をらせん状に並べたときの辺の長さの列として得られるのと同じように,「パドヴァン数列」は正三角形をらせん状に並べたときの辺の長さから得られる.