COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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分数関数

分数関数

問題≪周長と面積が等しい長方形≫

 縦の長さが $x,$ 横の長さが $y$ の長方形の周の長さと面積が等しいとき, 次の問いに答えよ.
(1)
$y$ を $x$ の関数で表し, そのグラフを描け.
(2)
$x,$ $y$ が整数のとき, $x,$ $y$ の値を求めよ.

解答例

(1)
$2x+2y = xy$ つまり $(x-2)y = 2x$ から,
$y = \dfrac{2x}{x-2}$ つまり $y = \dfrac{4}{x-2}+2$
である.
(2)
$x,$ $y$ が整数のとき, $\dfrac{4}{x-2}$ は整数であるので, \[ x-2 = \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4\] から, $x = -2,$ $0,$ $1,$ $3,$ $4,$ $6$ である.
$x > 0$ から $x = -2,$ $0$ は不適で, $x = 1,$ $3,$ $4,$ $6$ である.
このとき, $y = -2,$ $6,$ $4,$ $3$ であるが, $y > 0$ から $y = -2$ は不適で, \[ (x,y) = (3,6),\ (4,4),\ (6,3)\] である.