COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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分数関数

問題

分数関数

問題≪分数関数の決定・不等式≫

 $a,$ $b,$ $d$ を定数とする. $xy$ 平面において, 関数 $f(x) = \dfrac{ax+b}{x+d}$ のグラフ $H:y = f(x)$ が原点を通り, $H$ の漸近線が $x = 1,$ $y = 2$ であるとき,
(1)
$a,$ $b,$ $d$ の値を求めよ.
(2)
不等式 $f(x) \leqq x+1$ を解け.

解答例

(1)
$ax+b = a(x+d)-(ad-b)$ より $$f(x) = a-\frac{ad-b}{x+d}$$ だから, $H:y = f(x)$ の漸近線は $$x = -d, \quad y = a.$$ 条件より, これらはそれぞれ $x = 1,$ $y = 2$ に一致するから, $$a = 2, \quad d = -1.$$ このとき, $H$ の方程式は $y = \dfrac{2x+b}{x-1}$ であり, $H$ は点 $(0,\ 0)$ を通るから, $0 = \dfrac{b}{-1}$ より, $$b = 0.$$ ゆえに, $a = 2,$ $b = 0,$ $d = -1.$
(2)
$f(x) = x+1$ とすると, $\dfrac{2x}{x-1} = x+1$ より $2x = (x+1)(x-1)$ となり, $x^2-2x-1 = 0$ となるから, $$x = 1\pm\sqrt 2.$$ 各区間 $x < 1,$ $x > 1$ において, $y = f(x)$ は単調減少であり, よって $(x+1)-f(x)$ は単調増加であることに注意すると, $f(x) \leqq x+1$ の解は, $$1-\sqrt 2 \leqq x < 1, \quad 1+\sqrt 2 \leqq x.$$

問題≪双曲線を結ぶ弦の長さの最小値≫

 $m \neq 0$ とする. $xy$ 平面において, 双曲線 $H:y = \dfrac{2x-1}{2(x-1)}$ と直線 $\ell :y = mx$ は異なる $2$ 点 $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ で交わることを示し, 線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの最小値を求めよ.

解答例

 $\dfrac{2x-1}{2(x-1)} = mx \cdots [1]$ は $2mx^2-2(m+1)x+1 = 0 \cdots [2]$ と同値であり, $[2]$ の判別式を $D$ とおくと $$\frac{D}{4} = (m+1)^2-2m = m^2+1 > 0$$ となるから, $[1]$ は異なる $2$ つの実数解を持つ.
よって, $H$ と $\ell$ は異なる $2$ 点で交わるから, これを $\mathrm P(\alpha,\ m\alpha ),$ $\mathrm Q(\beta,\ m\beta )$ とおく.
$\alpha,$ $\beta$ は $[2]$ の解だから, $$\alpha +\beta = \frac{m+1}{m} \cdots [3], \quad \alpha\beta = \frac{1}{2m} \cdots [4].$$ よって, \begin{align*} \mathrm{PQ}^2 &= (\beta -\alpha )^2+(m\beta -m\alpha )^2 \\ &= (m^2+1)(\beta -\alpha )^2 \\ &= (m^2+1)\big( (\alpha +\beta )^2-4\alpha\beta\big) \\ &= (m^2+1)\left(\frac{(m+1)^2}{m^2}-\frac{2}{m}\right) \quad (\because [3],\ [4]) \\ &= \frac{m^2+1}{m^2}\big( (m+1)^2-2m\big) \\ &= \frac{(m^2+1)^2}{m^2} = 2+m^2+\frac{1}{m^2} \\ &\geqq 2+2\sqrt{m^2\cdot\frac{1}{m^2}} = 4. \end{align*} 等号成立は $m^2 = \dfrac{1}{m^2}$ すなわち $m = \pm 1$ のときに限る.
ゆえに, $\mathrm{PQ}$ は $m = \pm 1$ のとき最小値 $\sqrt 4 = 2$ をとる.