COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

フラクタル図形

フラクタル図形

 フラクタル図形を厳密に定義するのは難しいが, 部分が全体に相似(自己相似)であるような図形はフラクタル図形として広く知られている.

問題

数学 III: 極限

問題≪コッホ雪片≫

 $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形を $K_0$ として, 次のような規則で多角形 $K_n$ $(n \geqq 0)$ を順次定めていく. 多角形 $K_n$ の各辺において, 辺を $3$ 等分する $2$ 点を頂点とするような正三角形を $K_n$ の外側に貼りあわせ, できた多角形を $K_{n+1}$ とする.
(1)
多角形 $K_n$ の周の長さを $L_n$ とおく. 極限 $\lim\limits_{n \to \infty}L_n$ を求めよ.
(2)
多角形 $K_n$ の面積を $S_n$ とおく. 極限 $\lim\limits_{n \to \infty}S_n$ を求めよ.
[2010 北海道大*]

解答例

 こちらを参照.