COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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フラクタル図形

フラクタル図形

 フラクタル図形を厳密に定義するのは難しいが, 部分が全体に相似(自己相似)であるような図形はフラクタル図形として広く知られている.

問題

数学 III: 極限

問題≪コッホ雪片≫

 $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形を $K_0$ として, 次のような規則で多角形 $K_n$ $(n \geqq 0)$ を順次定めていく. 多角形 $K_n$ の各辺において, 辺を $3$ 等分する $2$ 点を頂点とするような正三角形を $K_n$ の外側に貼りあわせ, できた多角形を $K_{n+1}$ とする.
(1)
多角形 $K_n$ の周の長さを $L_n$ とおく. 極限 $\lim\limits_{n \to \infty}L_n$ を求めよ.
(2)
多角形 $K_n$ の面積を $S_n$ とおく. 極限 $\lim\limits_{n \to \infty}S_n$ を求めよ.
[2010 北海道大*]

解答例

(1)
$K_n$ から $K_{n+1}$ を作るとき, $K_n$ の各辺はその $\dfrac{1}{3}$ 倍の長さの辺 $4$ 本になるから, $L_{n+1} = \dfrac{4}{3}L_n$ が成り立つ. よって, \[ L_n = \left(\frac{4}{3}\right) ^nL_0 = 3\cdot\left(\frac{4}{3}\right) ^n\] から, $\lim\limits_{n \to \infty}L_n = \infty$ である.
(2)
$K_n$ から $K_{n+1}$ を作るとき, $1$ 辺の長さが $\dfrac{1}{3^{n+1}}$ の正三角形 $3\cdot 4^n$ 個が貼りあわせられるから, \[ S_{n+1}-S_n = 3\cdot 4^n\times \left(\frac{1}{3^{n+1}}\right)^2\cdot\frac{\sqrt 3}{4} = \frac{\sqrt 3}{12}\left(\frac{4}{9}\right) ^n\] が成り立つ. よって, 求める極限は, \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty}S_n &= \lim\limits_{n \to \infty}S_{n+1} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\left\{ S_0+\sum_{k = 0}^n(S_{k+1}-S_k)\right\} \\ &= S_0+\sum_{n = 0}^\infty (S_{n+1}-S_n) \\ &= \frac{\sqrt 3}{4}+\frac{\sqrt 3}{12}\sum_{n = 0}^\infty\left(\frac{4}{9}\right) ^n \\ &= \frac{\sqrt 3}{4}+\frac{\sqrt 3}{12}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{4}{9}} \\ &= \frac{2\sqrt 3}{5} \end{align*} である.