COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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等比数列

等比数列

定義≪等比数列≫

 各項が $0$ でなく, 隣り合う $2$ 項の比が一定である, すなわちある定数 $r$ について
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = r$ つまり $a_{n+1} = ra_n$
を満たす数列 $\{ a_n\}$ を等比数列(geometric sequence, progression)と呼び, $r$ をその公比(common ratio)と呼ぶ.

定理≪等比数列の一般項≫

 初項 $a,$ 公比 $r$ の等差数列 $\{ a_n\}$ の一般項は \[ a_n = ar^{n-1}\] である.

等比数列の和

定理≪等比数列の和≫

 初項 $a,$ 公比 $r$ の等差数列 $\{ a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は \[ S_n = \begin{cases} \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r \neq 1), \\ rn & (r = 1) \end{cases}\] である.

問題≪じゃんけんの確率≫

 $3$ 人がじゃんけんをする. ちょうど $n$ 回目で $1$ 位から $3$ 位までの順位が決まる確率は $\dfrac{4(n-1)}{3^n}$ である(こちらを参照). $n$ 回以下で $1$ 位から $3$ 位までの順位が決まる確率 $S_n$ を求めよ.

解答例

$\qquad S_n = 0+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{27}+\cdots +\dfrac{4(n-1)}{3^n}$
の辺々に $\dfrac{1}{3}$ をかけると,
$\quad\,\dfrac{1}{3}S_n = \qquad\ \!0+\dfrac{4}{27}+\cdots +\dfrac{4(n-2)}{3^n}+\dfrac{4(n-1)}{3^{n+1}}$
となる. 辺々を引くと
$\begin{aligned} \quad\frac{2}{3}S_n &= \qquad\!\!\frac{4}{9}+\frac{4}{27}+\cdots +\frac{4}{3^n}-\frac{4(n-1)}{3^{n+1}} \\ &= \frac{4}{9}\cdot\frac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right) ^{n-1}}{1-\dfrac{1}{3}}-\frac{4(n-1)}{3^{n+1}} \\ &= \frac{2}{3}\left\{ 1-\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{2(n-1)}{3^n}\right\} \\ &= \frac{2}{3}\cdot\frac{3^n-2n-1}{3^n} \end{aligned}$
となるので, \[ S_n = \frac{3^n-2n-1}{3^n}\] である.