COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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定義≪群≫

(1)
集合 $G$ に対して, $G\times G$ から $G$ への写像を $G$ 上の二項演算(binary operation)と呼ぶ.
(2)
空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 \[\mu: G\times G\to G;(a,\ b)\mapsto ab\] が次を満たすとき, 対 $(G,\ \mu )$ を(group)と呼ぶ.
(G1)
結合法則(associative law): 任意の $a,$ $b,$ $c \in G$ に対して $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ.
(G2)
単位元の存在: ある $e \in G$ について, 任意の $a \in G$ に対し $ae = ea = a$ が成り立つ.
(G3)
逆元の存在: 任意の $a \in G$ に対し, ある $a' \in G$ について $aa' = a'a = e$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 群 $(G,\ \mu )$ を単に群 $G$ と呼ぶ.
(3)
群 $G$ がさらに次の条件を満たすとき, $G$ を可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)と呼ぶ.
(G4)
交換法則(commutative law): 任意の $a,$ $b \in G$ に対して, $a,$ $b$ は可換である, つまり $ab = ba$ が成り立つ.
(4)
二項演算が $a+b$ のように加法記号を用いて書かれる可換群を加法群(additive group)と呼び, 二項演算が $a\times b,$ $a\cdot b,$ $ab$ のように乗法的に書かれる群を乗法群(multiplicative group)と呼ぶ.

命題≪単位元・逆元の一意性≫

(G2) において, $e \in G$ は一意に定まる.
(G3) において, 各 $a \in G$ に対し, $a'$ は一意に定まる.

定義≪群の単位元・逆元≫

(1)
(G2) を満たす $e$ を $G$ の単位元(unity), (G3) を満たす $a'$ を $a$ の逆元(inverse)と呼ぶ.
(2)
加法群 $G$ において, 単位元を $0$ で, $a \in G$ の逆元を $-a$ です. 乗法群 $G$ において, 単位元を $1$ で, $a \in G$ の逆元を $a^{-1}$ で表す.

例≪群≫

(0)
$1$ 元から成る集合 $\{ e\}$ は $ee = e$ という二項演算に関して群を成す. これを単位群(trivial group)と呼ぶ.
(1)
$i$ を虚数単位とすると, $1$ の $4$ 乗根全体 $\{ \pm 1,\ \pm i\}$ は複素数の乗法に関して群を成す.
(2)
整数全体 $\mathbb Z$ は加法に関して群を成す.
(3)
集合 $X$ の全単射全体は写像の合成に関して群を成す. これを $X$ の置換群(permutation group)と呼ぶ. 特に, $n$ 個の元から成る集合 $X$ の置換群を $n$ 次対称群(symmetric group of degree $n$)と呼び, $\mathfrak S_n$ で表す.

問題

数学 III: 複素数平面

問題≪複素数の乗法に関して閉じた有限集合≫

 $0$ でない複素数から成る集合 $G$ は, 次の条件を満たすとする.
(G0)
$G$ のすべての要素 $z,$ $w$ の積 $zw$ もまた $G$ の要素である.
$n$ を正の整数とする. このとき,
(1)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ の例を挙げよ.
(2)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ は (1) の例以外にないことを示せ.
[2001 京都府立医大*]

解答例

 こちらを参照.