COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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定義≪群≫

(1)
集合 $G$ に対して, $G\times G$ から $G$ への写像を $G$ 上の二項演算(binary operation)と呼ぶ.
(2)
空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 \[\mu: G\times G\to G;(a,\ b)\mapsto ab\] が次を満たすとき, 対 $(G,\ \mu )$ を(group)と呼ぶ.
(G1)
結合法則(associative law): 任意の $a,$ $b,$ $c \in G$ に対して $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ.
(G2)
単位元の存在: ある $e \in G$ について, 任意の $a \in G$ に対し $ae = ea = a$ が成り立つ.
(G3)
逆元の存在: 任意の $a \in G$ に対し, ある $a' \in G$ について $aa' = a'a = e$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 群 $(G,\ \mu )$ を単に群 $G$ と呼ぶ.
(3)
群 $G$ がさらに次の条件を満たすとき, $G$ を可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)と呼ぶ.
(G4)
交換法則(commutative law): 任意の $a,$ $b \in G$ に対して, $a,$ $b$ は可換である, つまり $ab = ba$ が成り立つ.
(4)
二項演算が $a+b$ のように加法記号を用いて書かれる可換群を加法群(additive group)と呼び, 二項演算が $a\times b,$ $a\cdot b,$ $ab$ のように乗法的に書かれる群を乗法群(multiplicative group)と呼ぶ.

命題≪単位元・逆元の一意性≫

(G2) において, $e \in G$ は一意に定まる.
(G3) において, 各 $a \in G$ に対し, $a'$ は一意に定まる.

定義≪群の単位元・逆元≫

(1)
(G2) を満たす $e$ を $G$ の単位元(unity), (G3) を満たす $a'$ を $a$ の逆元(inverse)と呼ぶ.
(2)
加法群 $G$ において, 単位元を $0$ で, $a \in G$ の逆元を $-a$ です. 乗法群 $G$ において, 単位元を $1$ で, $a \in G$ の逆元を $a^{-1}$ で表す.

例≪群≫

(0)
$1$ 元から成る集合 $\{ e\}$ は $ee = e$ という二項演算に関して群を成す. これを単位群(trivial group)と呼ぶ.
(1)
$i$ を虚数単位とすると, $1$ の $4$ 乗根全体 $\{ \pm 1,\ \pm i\}$ は複素数の乗法に関して群を成す.
(2)
整数全体 $\mathbb Z$ は加法に関して群を成す.
(3)
集合 $X$ の全単射全体は写像の合成に関して群を成す. これを $X$ の置換群(permutation group)と呼ぶ. 特に, $n$ 個の元から成る集合 $X$ の置換群を $n$ 次対称群(symmetric group of degree $n$)と呼び, $\mathfrak S_n$ で表す.

問題

数学 III: 複素数平面

問題≪複素数の乗法に関して閉じた有限集合≫

 $0$ でない複素数から成る集合 $G$ は, 次の条件を満たすとする.
(G0)
$G$ のすべての要素 $z,$ $w$ の積 $zw$ もまた $G$ の要素である.
$n$ を正の整数とする. このとき,
(1)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ の例を挙げよ.
(2)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ は (1) の例以外にないことを示せ.
[2001 京都府立医大*]

解答例

(1)
$z^n = 1$ の解 \[\omega = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\] を用いて \[ G = \{ 1,\omega,\cdots,\omega ^{n-1}\}\] と定めると, $G$ は (G0) を満たす.
(2)
$n$ 個の $0$ でない複素数から成る集合 $G = \{ z_1,\cdots,z_n\}$ が (G0) を満たすとする. $G$ の要素 $w$ をとる. このとき, 整数 $k,$ $l\ (1 \leqq k < l \leqq n)$ に対して $z_kw \neq z_lw$ であり, (G0) から $z_kw,$ $z_lw \in G$ であるので, \[ G = \{ z_1w,\cdots,z_nw\}\] となる. $G$ の要素をすべて掛け合わせると \[ z_1\cdots z_n = (z_1w)\cdots (z_nw) = (z_1\cdots z_n)w^n\] となるから, $w^n = 1$ となる. ゆえに, $G$ は $1$ の $n$ 乗根から成るので, (1) の集合に一致する. これで, 題意が示された.

別解

(2)
$n$ 個の $0$ でない複素数から成る集合 $G$ が (G0) を満たすとする.
このとき, $G$ の各要素 $z$ に対して, $z^m = 1$ を満たす正の整数 $m$ が存在する. 実際, (G0) から $z^k$ ($k$: 正の整数)の形の複素数はすべて $G$ に含まれるが, $G$ は有限個の複素数から成るので, ある正の整数の組 $(k,l)$ ($k < l$)に対して $z^k = z^l$ となり, 正の整数 $m = l-k$ は $z^m = 1$ を満たす.
さらに, $|z|^m = |z^m| = 1$ から $|z| = 1$ であり, また $1 \in G$ であることもわかる.
$n = 1$ のとき, $G = \{ 1\}$ から題意が従う.
そこで, 以下では $n > 1$ の場合を考える. $1$ と異なる $G$ の要素のうち, 偏角が $0$ 以上 $2\pi$ 未満の範囲で最小である複素数を $z$ とおき, $m$ を $z^k = 1$ なる正の整数 $k$ の最小値とする. $G$ の要素 $w$ を任意にとり, $l$ を $w^l = 1$ なる正の整数とする. また, $w$ の偏角を $0$ 以上 $2\pi$ 未満の範囲で考える.
(i)
$\mathrm{arg}\,z^{m-1} \leqq \mathrm{arg}\,w < 2\pi$ のとき, \[ 0 < \mathrm{arg}\,w^{-1} = \mathrm{arg}\,w^{l-1} \leqq \mathrm{arg}\,z^{1-m} = \mathrm{arg}\,z\] となるから, $\mathrm{arg}\,z$ の最小性により $w^{-1} = z$ つまり $w = z^{-1} = z^{m-1}$ となる.
(ii)
(i) 以外のとき, $0 \leqq k \leqq m-1$ なるある正の整数 $k$ に対して $\mathrm{arg}\,z^k \leqq \mathrm{arg}\,w < \mathrm{arg}\,z^{k+1}$ となり, \[ 0 \leqq \mathrm{arg}\,wz^{-k} = \mathrm{arg}\,wz^{m-k} < \mathrm{arg}\,z\] となるから, $\mathrm{arg}\,z$ の最小性により $wz^{-k} = 1$ つまり $w = z^k$ となる.
よって, $G = \{ 1,z,\cdots,z^{m-1}\}$ から, $m = n$ である.
ゆえに, $z$ は (1) の $\omega$ に一致して, $G = \{ 1,\omega,\cdots,\omega ^{n-1}\}$ となる.

背景

 次の条件を満たす演算 $*$ の定義された集合 $G\,(\neq \varnothing )$ を「群」(group)と呼ぶ.
(G0)
$G$ のすべての要素 $a,$ $b$ に対して, $a*b \in G$ である.
(G1)
$(a*b)*c = a*(b*c)\ (a,b,c \in G)$ が成り立つ.
(G2)
$a*e = e*a = a\ (a \in G)$ なる $G$ の要素 $e$ が存在する.
(G3)
$G$ の各要素 $a$ に対して, $a*a^{-1} = a^{ -1}*a = e$ なる $G$ の要素 $a^{-1}$ が存在する.
 例えば, $1$ の $3$ 乗根全体 $G = \{ 1,\omega,\omega ^2\}$ は, 通常の乗法に関して群を成すことが確認できる($e = 1,$ $1^{-1} = 1,$ $\omega ^{-1} = \omega ^2,$ $(\omega ^2)^{-1} = \omega$). 本問では, 条件 (G0) に着目して, 複素数の範囲で通常の乗法に関して「群」を成す有限集合を決定した.