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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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理論

定義≪群≫

(1)
集合 $G$ に対して, $G\times G$ から $G$ への写像を二項演算(binary operation)と呼ぶ.
(2)
空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 \[\mu: G\times G\to G;(a,\ b)\mapsto ab\] が次を満たすとき, 対 $(G,\ \mu )$ を(group)と呼ぶ.
(G1)
結合法則(associative law): 任意の $a,$ $b,$ $c \in G$ に対して $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ.
(G2)
単位元の存在: ある $e \in G$ について, 任意の $a \in G$ に対し $ae = ea = a$ が成り立つ.
(G3)
逆元の存在: 各 $a \in G$ に対し, ある $a' \in G$ について $aa' = a'a = e$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 群 $(G,\ \mu )$ を単に群 $G$ と呼ぶ.
(3)
群 $G$ がさらに次の条件を満たすとき, $G$ を可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)と呼ぶ.
(G4)
交換法則(commutative law): 各 $a,$ $b \in G$ に対して, $a,$ $b$ は可換である, つまり $ab = ba$ が成り立つ.
(4)
二項演算が $a+b$ のように加法記号を用いて書かれる可換群を加法群(additive group)と呼び, 二項演算が $a\times b,$ $a\cdot b,$ $ab$ のように乗法的に書かれる群を乗法群(multiplicative group)と呼ぶ.

命題≪単位元・逆元の一意性≫

(G2) において, $e \in G$ は一意に定まる.
(G3) において, 各 $a \in G$ に対し $a'$ は一意に定まる.

定義≪群の単位元・逆元≫

(1)
(G2) を満たす $e$ を $G$ の単位元(unity), (G3) を満たす $a'$ を $a$ の逆元(inverse)と呼ぶ.
(2)
加法群 $G$ において, 単位元を $0$ で, $a \in G$ の逆元を $-a$ です. 乗法群 $G$ において, 単位元を $1$ で, $a \in G$ の逆元を $a^{-1}$ で表される.

例≪群≫

(0)
$1$ 元から成る集合 $\{ e\}$ は $ee = e$ という二項演算に関して群を成す. これを単位群(trivial group)と呼ぶ.
(1)
$i$ を虚数単位とすると, $1$ の $4$ 乗根全体 $\{ \pm 1,\ \pm i\}$ は複素数の乗法に関して群を成す.
(2)
整数全体 $\mathbb Z$ は加法に関して群を成す.
(3)
集合 $X$ の全単射全体は写像の合成に関して群を成す. これを $X$ の置換群(permutation group)と呼ぶ. 特に, $n$ 個の元から成る集合 $X$ の置換を$n$ 次対称群(symmetric group of degree $n$)と呼び, $\mathfrak S_n$ で表す.
 以後, 特に断りのない限り, 群の二項演算はすべて乗法で表すが, 述べる結果は二項演算の表し方によらない.

群と元の位数

定義≪群の位数≫

 $G$ を群とする. $G$ が有限個の要素から成るとき, $G$ は有限(finite)であるといい, その元の個数を $G$ の位数(order)と呼ぶ. $G$ が無限個の要素から成るとき, $G$ は無限(infinite)であるという.

定義≪元の位数≫

 群 $G$ の元 $a$ について, $a^n = 1$ を満たす正の整数が存在するとき, $a$ の位数は有限であるといい, $n$ の最小値を $a$ の $G$ における位数(order)と呼び $\mathrm{ord}\,(a)$ で表す. $a^n = 1$ を満たす正の整数 $n$ が存在しないとき, $a$ の位数は無限であると定める.

定理≪元の位数の性質≫

 群 $G$ の位数が有限な元 $a,$ $b$ について,
(1)
$\mathrm{ord}\,(a)$ は $a^n = 1$ を満たすすべての整数 $n$ を割り切る. よって, $0$ でない整数 $n$ に対して,「$a^n = 1$ $\iff$ $n$ は $\mathrm{ord}\,(a)$ の倍数」が成り立つ.
(2)
正の整数 $k$ と $\mathrm{ord}\,(a)$ の最大公約数を $k'$ とおくと, $\mathrm{ord}\,(a^k) = \mathrm{ord}\,(a)/k'$ が成り立つ.
(3)
$a,$ $b$ が可換であり, $\mathrm{ord}\,(a),$ $\mathrm{ord}\,(b)$ が互いに素であるとする. そのとき, $\mathrm{ord}\,(ab) = \mathrm{ord}\,(a)\mathrm{ord}\,(b)$ が成り立つ.

証明

 $m = \mathrm{ord}\,(a),$ $\mu = \mathrm{ord}\,(a^k),$ $\mu ' = m/k',$ $n = \mathrm{ord}\,(b),$ $l = \mathrm{ord}\,(ab)$ とおく.
(1)
前半を $n > 0$ の場合に示せば良い. 位数の最小性により, $m \leqq n$ が成り立つ. $n-m \neq 0$ つまり $m < n$ のとき, \[ a^{n-m} = a^n(a^m)^{-1} = e\] となるから, 位数の最小性により $m \leqq n-m.$ $m \neq n-m$ つまり $m < n-m$ のとき, \[ a^{n-2m} = a^n(a^m)^{-2} = e\] となるから, 位数の最小性により $m \leqq n-2m$ となる. $1$ 次関数 $n-mx$ は単調減少であり, $n > 0$ であるから, 同様の議論を繰り返すと, ある正の整数 $q$ について $n = mq$ となる.
(2)
$a^{k\mu} = (a^k)^\mu = 1$ であるので, (1) から $m$ は $k\mu$ を割り切る. よって, $\mu '$ は $\mu$ を割り切る.
また, $m$ は $k\mu '$ を割り切るので, (1) から $(a^k)^{\mu'} = a^{k\mu '} = 1$ が成り立つ. よって, (1) から $\mu$ は $\mu'$ を割り切る.
ゆえに, $\mu = \mu'$ である.
(3)
$a,$ $b$ の可換性により \[ (ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^m)^n(b^n)^m = e^ne^m = ee = e\] が成り立つ. よって, (1) の結果から, $l$ は $mn$ を割り切る. また, $a,$ $b$ の可換性により \[ a^{nl} = a^{nl}e = a^{nl}b^{nl} = ((ab)^l)^n = e^n = e \] が成り立つ. よって, (1) の結果から $m$ は $nl$ を割り切るので, $m,$ $n$ が互いに素であることから $m$ は $l$ を割り切る. 同様に, $n$ は $l$ を割り切る. 以上より, $l = mn$ が成り立つ.

群の直積

命題≪群の直積≫

(1)
群の族 $(G_i)_{i \in I}$ の集合族としての直積 $P = \prod_{i \in I}G_i$ は, 二項演算 \[ P\times P \to P;((a_i)_{i \in I},(b_i)_{i \in I}) \mapsto (a_ib_i)_{i \in I}\] に関して群を成す.
(2)
集合 $I$ から群 $G$ への写像全体 $G^I$ は, 二項演算 \[ G^I\times G^I\to G^I;((a_i)_{i \in I},(b_i)_{i \in I}) \mapsto (a_ib_i)_{i \in I}\] に関して群を成す.
(3)
群 $G$ の元を成分とする無限列全体 $G^{\mathbb N}$ は, 二項演算 \[ G^{\mathbb N}\times G^{\mathbb N}\to G^{\mathbb N};((a_n)_{n \in \mathbb N},(b_n)_{n \in \mathbb N}) \mapsto (a_nb_n)_{n \in \mathbb N}\] に関して群を成す.

証明

(1)
$P$ における結合法則, 単位元の存在, 逆元の存在は, 各 $G_i$ $(i \in I)$ における結合法則, 単位元の存在, 逆元の存在から従う.
(2)
集合 $I$ から群 $G$ への写像は $G^I$ の元とみなせるので, (1) から従う.
(3)
群 $G$ の元を成分とする無限列は $\mathbb N$ から $G$ への写像に他ならないので, (2) から従う.

定義≪群の直積≫

 群の集合族 $(G_i)_{i \in I}$ に対して, 上記のように各成分の二項演算で定まる群 $\prod_{i \in I}G_i$ を $(G_i)_{i \in I}$ の直積(direct product)と呼ぶ.

問題

高校数学

問題≪複素数の乗法に関する有限群≫

 $0$ でない複素数から成る集合 $G$ は, 次の条件を満たしているとする.
(G0)
$G$ の任意の要素 $z,$ $w$ の積 $zw$ もまた $G$ の要素である.
$n$ を正の整数とする. このとき,
(1)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ の例を挙げよ.
(2)
ちょうど $n$ 個の複素数から成る $G$ は (1) の例以外にないことを示せ.
[01 京都府立医大]

解答例

(1)
$z^n = 1$ の解 \[\zeta = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\] を用いて \[ G = \{\zeta ^k|0 \leqq k \leqq n-1,k:\text{整数}\}\] と定めると, $G$ は (G0) を満たす.
(2)
$n$ 個の $0$ でない複素数から成る集合 $G = \{ z_1,\cdots,z_n\}$ が (G0) を満たすとする. $G$ の要素 $w$ をとる. このとき, 整数 $i,$ $j\ (1 \leqq i < j \leqq n)$ に対して $z_iw \neq z_jw$ であり, (G0) から $z_iw \in G,$ $z_jw \in G$ であるので, \[ G = \{ z_1w,\cdots,z_nw\}\] となる. $G$ の要素をすべて掛け合わせると \[ z_1\cdots z_n = (z_1w)\cdots (z_nw) = (z_1\cdots z_n)w^n\] となるから, $w^n = 1$ となる. ゆえに, $G$ は $1$ の $n$ 乗根から成るので, (1) の集合に一致する. これで, 題意が示された.

別解

(2)
$n$ 個の $0$ でない複素数から成る集合 $G = \{ z_1,\cdots,z_n\}$ が (G0) を満たすとする.
このとき, $G$ の各要素 $z$ に対して, $z^m = 1$ を満たす正の整数 $m$ が存在する. 実際, (G0) から $z^k$ ($k$: 正の整数)の形の複素数はすべて $G$ に含まれるが, $G$ は有限個の複素数から成るので, ある正の整数の組 $(k,l)$ ($k < l$)に対して $z^k = z^l$ となり, 正の整数 $m = l-k$ は $z^m = 1$ を満たす.
さらに, $|z|^m = |z^m| = 1$ から $|z| = 1$ であり, また $1 \in G$ であることもわかる.
$n = 1$ のとき, $G = \{ 1\} = \{ z|z^1 = 1\}$ から題意が従う.
そこで, 以下では $n > 1$ の場合を考える. $1$ と異なる $G$ の要素のうち, 偏角が $0$ 以上 $2\pi$ 未満の範囲で最小となる複素数を $z$ とおき, $m$ を $z^k = 1$ なる正の整数 $k$ の最小値とする. $G$ の元 $w$ を任意にとり, $l$ を $w^l = 1$ なる正の整数とする. また, $w$ の偏角を $0$ 以上 $2\pi$ 未満の範囲で考える.
(i)
$\mathrm{arg}\,z^{m-1} \leqq \mathrm{arg}\,w < 2\pi$ のとき, \[ 0 < \mathrm{arg}\,w^{-1} = \mathrm{arg}\,w^{l-1} \leqq \mathrm{arg}\,z^{1-m} = \mathrm{arg}\,z\] となるから, $\mathrm{arg}\,z$ の最小性により $w^{-1} = z$ つまり $w = z^{-1} = z^{m-1}$ となる.
(ii)
(i) 以外のとき, $0 \leqq k \leqq m-1$ なるある正の整数 $k$ に対して $\mathrm{arg}\,z^k \leqq \mathrm{arg}\,w < \mathrm{arg}\,z^{k+1}$ となり, \[ 0 \leqq \mathrm{arg}\,wz^{-k} = \mathrm{arg}\,wz^{m-k} < \mathrm{arg}\,z\] となるから, $\mathrm{arg}\,z$ の最小性により $wz^{-k} = 1$ つまり $w = z^k$ となる.
よって, $G = \{ 1,z,\cdots,z^{m-1}\}$ であるから, $m = n$ が成り立つ. ゆえに, $G = \{ 1,z,\cdots,z^{n-1}\} = \{ z|z^n = 1\}$ である.

問題≪一般結合法則≫

 $n \geqq 3$ を整数とする. 群 $G$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して $a_1\dots a_n$ を帰納的に次のように定める. \[ a_1\dots a_n = (a_1\dots a_{n-1})a_n.\] このとき, 次が成り立つことを示せ.
(1)
任意の $1 \leqq r < n$ に対して, \[ (a_1\dots a_r)(a_{r+1}\dots a_n) = a_1\dots a_n.\]
(2)
$(a_1\dots a_n)^{-1} = a_n{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}.$ 

解答例

(1)
$n$ に関する帰納法で示す.
(i)
$n = 3$ のとき. 結合法則より従う.
(ii)
与えられた整数 $n \geqq 3$ に対して成り立つとする. このとき, 任意の $1 \leqq n < r$ に対して \begin{align*} &(a_1\dots a_r)(a_{r+1}\dots a_na_{n+1}) \\ &= (a_1\dots a_r)((a_{r+1}\dots a_n)a_{n+1}) \\ &= ((a_1\dots a_r)(a_{r+1}\dots a_n))a_{n+1} \\ &= (a_1\dots a_n)a_{n+1} \\ &= a_1\dots a_na_{n+1}. \end{align*} それぞれの等号は順に定義, 結合法則, 帰納法の仮定, 定義より従う. $r = n$ のときも定義より, $(a_1\dots a_n)(a_{n+1}) = a_1\dots a_na_{n+1}.$
(i), (ii) より, 任意の $n \geqq 3$ に対して求める結果が得られた.
(2)
\begin{align*} &(a_1\dots a_n)(a_n{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= (a_1\dots a_{n-1}a_n)(a_n{}^{-1}(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1})) \\ &= ((a_1\dots a_{n-1}a_n)a_n{}^{-1})(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= ((a_1\dots a_{n-1})(a_na_n{}^{-1}))(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= ((a_1\dots a_{n-1})1)(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= (a_1\dots a_{n-1})(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= \dots \\ &= 1. \end{align*} $a_1,$ $\dots,$ $a_n$ を $a_n{}^{-1},$ $\dots,$ $a_1{}^{-1}$ に置き換えると, $(a_i{}^{-1})^{-1} = a_i$ より, \[ (a_n{}^{-1}\dots a_1{}^{-1})(a_1\dots a_n) = 1.\] よって, 求める結果が得られた.

問題≪群の公理≫

 通常の整数の加法, 乗法を用いて整数全体 $\mathbb Z$ 上の二項演算の値 $a*b\ (a,\ b \in \mathbb Z)$ を次のように定めるとき, $\mathbb Z$ は各二項演算 $\ast$ に関して群を成すか.
(a)
$a*b = ab+1.$ 
(b)
$a*b = 2ab.$ 
(c)
$a*b = ab+a+b.$ 
(d)
$a*b = a+b+1.$ 

解答例

(a)
例えば, \begin{align*} (1*2)*3 &= (1\cdot 2+1)*3 \\ &= (1\cdot 2+1)\cdot 3+1 = 10, \\ 1*(2*3) &= 1*(2\cdot 3+1) \\ &= 1(2\cdot 3+1)+1 = 8 \end{align*} は異なる. よって, 結合法則が成り立たないから, $\mathbb Z$ は $*$ に関して群を成さない.
(b)
$1*e = 1$ すなわち $2e = 1$ を満たす $e \in \mathbb Z$ は存在しない. よって, 単位元が存在しないから, $\mathbb Z$ は $*$ に関して群を成さない.
(c)
$1*e = e*1 = 1$ すなわち $2e+1 = 1$ を解くと, $e = 0.$ よって, $\mathbb Z$ の $\ast$ に関する単位元は $0.$
例えば, $1*x = x*1 = 0$ すなわち $2x+1 = 0$ を満たす $x \in \mathbb Z$ は存在しない. よって, 逆元は一般に存在しないから, $\mathbb Z$ は $\ast$ に関して群を成さない.
(d)
(i)
結合法則: 任意の $a,$ $b,$ $c \in \mathbb Z$ に対して \begin{align*} &(a*b)*c = (a+b+1)*c \\ &= (a+b+1)+c+1 = a+b+c+2, \\ &a*(b*c) = a*(b+c+1) \\ &= a+(b+c+1)+1 = a+b+c+2 \end{align*} は等しい.
(ii)
単位元の存在: 任意の $a \in \mathbb Z$ に対して \[ a*(-1) = (-1)*a = a\] となるから, $-1$ は $\mathbb Z$ の $\ast$ に関する単位元である.
(iii)
逆元の存在: 各 $a \in \mathbb Z$ に対して, \[ a*(-a-2) = (-a-2)*a = -1\] より $-a-2$ は $a$ の $\ast$ に関する逆元である.
(i)~(iii) より, $\mathbb Z$ は $\ast$ に関して群を成す.

問題≪一般線形群≫

 体 $K$ 上の線形空間 $V$ 上の自己同型写像全体 $G = \mathrm{Aut}_K(V)$ は合成に関して群を成すことを示せ.

解答例

 $V$ 上の自己同型写像とは, $V$ から $V$ への逆写像を持つ線形写像に他ならない. $f,$ $g \in G$ とすると, $f\circ g$ は $V$ から $V$ への線形写像であり, $g^{-1}\circ f^{-1}$ は $f\circ g$ の逆写像を与えるから, $f\circ g \in G.$ よって, 合成は $G$ 上の二項演算を定める.
(i)
結合法則: $f,$ $g,$ $h \in G$ とすると, 合成の定義より各 $v \in V$ に対して \begin{align*} ((f\circ g)\circ h)(v) = (f\circ g)(h(v)) = f(g(h(v))), \\ (f\circ (g\circ h))(v) = f((g\circ h)(v)) = f(g(h(v))) \\ \end{align*} となり, $(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)$ となる.
(ii)
単位元の存在: $V$ 上の恒等写像 $\mathrm{id}_V$ は $G$ の元であり, 任意の $f \in G$ に対して \[ f\circ\mathrm{id}_V = \mathrm{id}_V\circ f = f\] を満たす.
(iii)
逆元の存在: $f \in G$ とする. このとき, $f$ の逆写像 $f^{-1}$ は, \[ f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_V \quad \cdots [1]\] を満たし, よって逆写像 $f$ を持つ. よって, $[1]$ を満たす $f^{-1} \in G$ が存在する.
(i)~(iii) より, $G$ は合成に関して群を成す.

補足

 $V$ が体 $K$ 上の $n$ 次元線形空間のとき, $\mathrm{Aut}_K(V)$ は $n$ 次可逆行列全体 $\mathrm{GL}_n(K)$ と同一視できる. 実際, $V$ の基底を固定して, $f$ に $f$ の表現行列を対応させれば良い.

問題≪$ab$ の位数≫

 群 $G$ において $a \in G$ の位数が $m,$ $b \in G$ の位数が $n$ であるとする. $ab = ba,$ $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{ 1\}$ ならば $ab$ の位数は $m,$ $n$ の最小公倍数であることを示せ.

解答例

(i)
$m,$ $n$ の最小公倍数を $\ell$ とおくと, \[ (ab)^\ell = a^\ell b^\ell = (a^m)^{\frac{\ell}{m}}(b^n)^{\frac{\ell}{n}} = 1^{\frac{\ell}{m}}1^{\frac{\ell}{n}} = 1.\]
(ii)
正の整数 $i$ が $(ab)^i = 1$ を満たすとき, $a^ib^i = 1$ の両辺の右から $b^{-i}$ を掛けると, \[ a^i = b^{-i} \in \langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{ 1\}\] となるから, $i$ は $m,$ $n$ の公倍数である.
(i), (ii) より, $ab$ の位数は $m,$ $n$ の最小公倍数である.

問題≪元の位数が $2$ 以下の群の可換性≫

 任意の元の位数が $2$ 以下である群 $G$ は可換群であることを示せ.

解答例

 任意の $a \in G$ に対して, $a$ の位数は $1$ または $2$ だから, $a^2 = 1.$ 両辺に $a^{-1}$ を掛けると, $a = a^{-1}.$ ゆえに, 任意の $a,$ $b \in G$ に対して \[ ab = a^{-1}b^{-1} = (ba)^{-1} = ba.\] これは $G$ が可換群であることを意味する.