COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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理論

定義≪群≫

 集合 $G$ に対して, $G\times G$ から $G$ への写像を二項演算(binary operation)と呼ぶ. 空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 \[\mu: G\times G\to G;(a,\ b)\mapsto ab \quad\cdots [\ast ]\] が次を満たすとき, 対 $(G,\ \mu )$ を(group)と呼ぶ.
(Gi)
結合法則(associative law): 任意の $a,$ $b,$ $c \in G$ に対して $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ.
(Gii)
単位元の存在: ある $e \in G$ について, 任意の $a \in G$ に対し $ae = ea = a$ が成り立つ.
(Giii)
逆元の存在: 各 $a \in G$ に対し, ある $a' \in G$ について $aa' = a'a = e$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 群 $(G,\ \mu )$ を単に群 $G$ と呼ぶ.

命題≪単位元・逆元の一意性≫

(Gii) において, $e \in G$ は一意に定まる.
(Giii) において, 各 $a \in G$ に対し $a'$ は一意に定まる.

定義≪群の単位元・逆元≫

 (Gii) を満たす $e$ を $G$ の単位元(unity), (Giii) を満たす $a'$ を $a$ の逆元(inverse)と呼ぶ. $G$ の二項演算の値が $[\ast ]$ のように表されるとき, 単位元を $1,$ $a'$ を $a^{-1}$ で表す.

定義≪群≫

 群 $G$ の部分集合 $H \neq \varnothing$ が次を満たすとき, $H$ は $G$ の部分群(subgroup)であるといい, $H \leq G$ と表す.
(Hi)
任意の $a,$ $b \in H$ に対して, $ab \in H.$
(Hii)
任意の $a \in H$ に対して, $a^{-1} \in H.$

記号

 群 $G$ の部分集合 $S,$ $T \neq \varnothing$ に対して \[ ST = \{ st|s \in S,\ t \in T\}, \quad S^{-1} = \{ s^{-1}|s \in S\}\] と定める.

群の位数

定義≪群の位数≫

 $G$ を群とする. $G$ が有限個の要素から成るとき, $G$ は有限(finite)であるといい, その元の個数を $G$ の位数(order)と呼ぶ. $G$ が無限個の要素から成るとき, $G$ は無限(infinite)であるという.

元の位数

定義≪元の位数≫

 $e$ を単位元とする群 $G$ の元 $a$ について, $a^n = e$ を満たす正の整数が存在するとき, $a$ の位数は有限であるといい, $n$ の最小値を $a$ の $G$ における位数(order)と呼び $\mathrm{ord}\,(a)$ で表す. $a^n = e$ を満たす正の整数 $n$ が存在しないとき, $a$ の位数は無限であると定める.

定理≪元の位数の性質≫

 $e$ を単位元とする群 $G$ の位数が有限な元 $a,$ $b$ について,
(1)
$\mathrm{ord}\,(a)$ は $a^n = e$ を満たすすべての正の整数 $n$ を割り切る.
(2)
$a,$ $b$ が可換であり, $\mathrm{ord}\,(a),$ $\mathrm{ord}\,(b)$ が互いに素であるとする. そのとき, $\mathrm{ord}\,(ab) = \mathrm{ord}\,(a)\mathrm{ord}\,(b)$ が成り立つ.

証明

 $m = \mathrm{ord}\,(a),$ $n = \mathrm{ord}\,(b),$ $l = \mathrm{ord}\,(ab)$ とおく.
(1)
位数の最小性により, $m \leqq n$ が成り立つ. $n-m \neq 0$ つまり $m < n$ のとき, \[ a^{n-m} = a^n(a^m)^{-1} = e\] となるから, 位数の最小性により $m \leqq n-m.$ $m \neq n-m$ つまり $m < n-m$ のとき, \[ a^{n-2m} = a^n(a^m)^{-2} = e\] となるから, 位数の最小性により $m \leqq n-2m$ となる. $1$ 次関数 $n-mx$ は単調減少であり, $n > 0$ であるから, 同様の議論を繰り返すと, ある正の整数 $q$ について $n = mq$ となる.
(2)
$a,$ $b$ の可換性により \[ (ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^m)^n(b^n)^m = e^ne^m = ee = e\] が成り立つ. よって, (1) の結果から, $l$ は $mn$ を割り切る. また, $a,$ $b$ の可換性により \[ a^{nl} = a^{nl}e = a^{nl}b^{nl} = ((ab)^l)^n = e^n = e \] が成り立つ. よって, (1) の結果から $m$ は $nl$ を割り切るので, $m,$ $n$ が互いに素であることから $m$ は $l$ を割り切る. 同様に, $n$ は $l$ を割り切る. 以上より, $l = mn$ が成り立つ.

定理≪群の位数と元の位数の関係≫

 有限群 $G$ の各元 $a$ の位数は $G$ の位数の約数である.

証明

 $a$ の位数は, $a$ を生成元とする $G$ の巡回部分群の位数に等しいので, Lagrange の定理により $G$ の位数の約数である.

問題

問題≪一般結合法則≫

 $n \geqq 3$ を整数とする. 群 $G$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して $a_1\dots a_n$ を帰納的に次のように定める. \[ a_1\dots a_n = (a_1\dots a_{n-1})a_n.\] このとき, 次が成り立つことを示せ.
(1)
任意の $1 \leqq r < n$ に対して, \[ (a_1\dots a_r)(a_{r+1}\dots a_n) = a_1\dots a_n.\]
(2)
$(a_1\dots a_n)^{-1} = a_n{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}.$ 

解答例

(1)
$n$ に関する帰納法で示す.
(i)
$n = 3$ のとき. 結合法則より従う.
(ii)
与えられた整数 $n \geqq 3$ に対して成り立つとする. このとき, 任意の $1 \leqq n < r$ に対して \begin{align*} &(a_1\dots a_r)(a_{r+1}\dots a_na_{n+1}) \\ &= (a_1\dots a_r)((a_{r+1}\dots a_n)a_{n+1}) \\ &= ((a_1\dots a_r)(a_{r+1}\dots a_n))a_{n+1} \\ &= (a_1\dots a_n)a_{n+1} \\ &= a_1\dots a_na_{n+1}. \end{align*} それぞれの等号は順に定義, 結合法則, 帰納法の仮定, 定義より従う. $r = n$ のときも定義より, $(a_1\dots a_n)(a_{n+1}) = a_1\dots a_na_{n+1}.$
(i), (ii) より, 任意の $n \geqq 3$ に対して求める結果が得られた.
(2)
\begin{align*} &(a_1\dots a_n)(a_n{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= (a_1\dots a_{n-1}a_n)(a_n{}^{-1}(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1})) \\ &= ((a_1\dots a_{n-1}a_n)a_n{}^{-1})(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= ((a_1\dots a_{n-1})(a_na_n{}^{-1}))(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= ((a_1\dots a_{n-1})1)(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= (a_1\dots a_{n-1})(a_{n-1}{}^{-1}\dots a_1{}^{-1}) \\ &= \dots \\ &= 1. \end{align*} $a_1,$ $\dots,$ $a_n$ を $a_n{}^{-1},$ $\dots,$ $a_1{}^{-1}$ に置き換えると, $(a_i{}^{-1})^{-1} = a_i$ より, \[ (a_n{}^{-1}\dots a_1{}^{-1})(a_1\dots a_n) = 1.\] よって, 求める結果が得られた.

問題≪群の公理≫

 通常の整数の加法, 乗法を用いて整数全体 $\mathbb Z$ 上の二項演算の値 $a*b\ (a,\ b \in \mathbb Z)$ を次のように定めるとき, $\mathbb Z$ は各二項演算 $\ast$ に関して群を成すか.
(a)
$a*b = ab+1.$ 
(b)
$a*b = 2ab.$ 
(c)
$a*b = ab+a+b.$ 
(d)
$a*b = a+b+1.$ 

解答例

(a)
例えば, \begin{align*} (1*2)*3 &= (1\cdot 2+1)*3 \\ &= (1\cdot 2+1)\cdot 3+1 = 10, \\ 1*(2*3) &= 1*(2\cdot 3+1) \\ &= 1(2\cdot 3+1)+1 = 8 \end{align*} は異なる. よって, 結合法則が成り立たないから, $\mathbb Z$ は $*$ に関して群を成さない.
(b)
$1*e = 1$ すなわち $2e = 1$ を満たす $e \in \mathbb Z$ は存在しない. よって, 単位元が存在しないから, $\mathbb Z$ は $*$ に関して群を成さない.
(c)
$1*e = e*1 = 1$ すなわち $2e+1 = 1$ を解くと, $e = 0.$ よって, $\mathbb Z$ の $\ast$ に関する単位元は $0.$
例えば, $1*x = x*1 = 0$ すなわち $2x+1 = 0$ を満たす $x \in \mathbb Z$ は存在しない. よって, 逆元は一般に存在しないから, $\mathbb Z$ は $\ast$ に関して群を成さない.
(d)
(i)
結合法則: 任意の $a,$ $b,$ $c \in \mathbb Z$ に対して \begin{align*} &(a*b)*c = (a+b+1)*c \\ &= (a+b+1)+c+1 = a+b+c+2, \\ &a*(b*c) = a*(b+c+1) \\ &= a+(b+c+1)+1 = a+b+c+2 \end{align*} は等しい.
(ii)
単位元の存在: 任意の $a \in \mathbb Z$ に対して \[ a*(-1) = (-1)*a = a\] となるから, $-1$ は $\mathbb Z$ の $\ast$ に関する単位元である.
(iii)
逆元の存在: 各 $a \in \mathbb Z$ に対して, \[ a*(-a-2) = (-a-2)*a = -1\] より $-a-2$ は $a$ の $\ast$ に関する逆元である.
(i)~(iii) より, $\mathbb Z$ は $\ast$ に関して群を成す.

問題≪一般線形群≫

 体 $K$ 上の線形空間 $V$ 上の自己同型写像全体 $G = \mathrm{Aut}_K(V)$ は合成に関して群を成すことを示せ.

解答例

 $V$ 上の自己同型写像とは, $V$ から $V$ への逆写像を持つ線形写像に他ならない. $f,$ $g \in G$ とすると, $f\circ g$ は $V$ から $V$ への線形写像であり, $g^{-1}\circ f^{-1}$ は $f\circ g$ の逆写像を与えるから, $f\circ g \in G.$ よって, 合成は $G$ 上の二項演算を定める.
(i)
結合法則: $f,$ $g,$ $h \in G$ とすると, 合成の定義より各 $v \in V$ に対して \begin{align*} ((f\circ g)\circ h)(v) = (f\circ g)(h(v)) = f(g(h(v))), \\ (f\circ (g\circ h))(v) = f((g\circ h)(v)) = f(g(h(v))) \\ \end{align*} となり, $(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)$ となる.
(ii)
単位元の存在: $V$ 上の恒等写像 $\mathrm{id}_V$ は $G$ の元であり, 任意の $f \in G$ に対して \[ f\circ\mathrm{id}_V = \mathrm{id}_V\circ f = f\] を満たす.
(iii)
逆元の存在: $f \in G$ とする. このとき, $f$ の逆写像 $f^{-1}$ は, \[ f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_V \quad \cdots [1]\] を満たし, よって逆写像 $f$ を持つ. よって, $[1]$ を満たす $f^{-1} \in G$ が存在する.
(i)~(iii) より, $G$ は合成に関して群を成す.

補足

 $V$ が体 $K$ 上の $n$ 次元線形空間のとき, $\mathrm{Aut}_K(V)$ は $n$ 次可逆行列全体 $\mathrm{GL}_n(K)$ と同一視できる. 実際, $V$ の基底を固定して, $f$ に $f$ の表現行列を対応させれば良い.

問題≪部分群の判定法≫

 群 $G$ の部分集合 $H \neq \varnothing$ に対して, 次は同値であることを示せ.
(i)
$H \leq G.$ 
(ii)
$HH = H,$ $H^{-1} = H.$ 
(iii)
任意の $a,$ $b \in H,$ に対して $ab^{-1} \in H.$
(iv)
$HH^{-1} = H.$ 

解答例

(i) $\Rightarrow$ (ii):
(i) を仮定する. 部分群の条件 (Hi), (Hii) は $HH \subset H,$ $H^{-1} \subset H$ を意味する. また, 任意の $h \in H$ は $h = h1 = (h^{-1})^{-1}$ と表せるから, $H \subset HH,$ $H \subset H^{-1}.$ よって, $HH = H,$ $H^{-1} = H.$
(ii) $\Rightarrow$ (i):
(ii) を仮定する. このとき, $HH \subset H,$ $H^{-1} \subset H$ より, $H \leq G.$
(i) $\Rightarrow$ (iii):
(i) を仮定する. $a,$ $b \in H$ とすると, (Hii) より $b \in H^{-1}$ となるから, (Hi) より $ab^{-1} \in H.$
(iii) $\Rightarrow$ (i):
(iii) を仮定する.
(Hii)
仮定より, 各 $a \in H$ に対して $a^{-1} = 1a^{-1} \in H.$
(Hi)
$a,$ $b \in H$ とすると, (Hii) より $b^{-1} \in H$ だから, 仮定より $ab = a(b^{-1})^{-1} \in H.$
(Hi), (Hii) より, $H \leq G.$
(iii) $\Rightarrow$ (iv):
(iii) を仮定する. このとき, $HH^{-1} \subset H.$ また, 任意の $h \in H$ は $h = h1^{-1}$ と表せるから, $H \subset HH^{-1}.$ よって, $HH^{-1} = H.$
(iv) $\Rightarrow$ (iii):
$HH^{-1} \subset H$ は (iii) を意味する.

問題≪$HK$ が部分群になる条件≫

 群 $G$ の部分群 $H,$ $K$ に対して, 次は同値であることを示せ.
(i)
$HK \leq G$  
(ii)
$HK = KH.$

解答例

(i) $\Rightarrow$ (ii):
$HK \leq G$ を仮定すると, $HK$ の任意の元はある $h \in H,$ $k \in K$ を用いて $hk$ と表せる. このとき, $k^{-1}h^{-1} \in KH$ より, \[ hk = (h^{-1})^{-1}(k^{-1})^{-1} = (k^{-1}h^{-1})^{-1} \in KH.\] よって, $HK \subset KH.$ 同様にして $KH \subset HK$ も示せるから, $HK = KH.$
(ii) $\Rightarrow$ (i):
$HK = KH$ を仮定すると, \begin{align*} (HK)(HK) &= H(KH)K = H(HK)K \\ &= (HH)(KK) = HK, \\ (HK)^{-1} &= K^{-1}H^{-1} = KH = HK \end{align*} となるから, $HK \leq G.$

問題≪群の中心≫

 群 $G$ の中心 $Z(G) = \{ g \in G|gx = xg\ (x \in G)\}$ は $G$ の部分群であることを示せ.

解答例

(i)
$1 \in G$ より, $G \neq \varnothing.$
(ii)
$a,$ $b \in Z(G)$ とすると, 各 $x \in G$ に対して \[ (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab)\] となるから, $ab \in Z(G).$
(iii)
$a \in Z(G)$ とすると, 各 $x \in G$ に対して \[ xg = gx\] となるから, 両辺の左右から $g^{-1}$ を掛けると, \[ g^{-1}x = xg^{-1}\] となる.
(i)~(iii) より, $Z(G)$ は $G$ の部分群である.

問題≪$ab$ の位数≫

 群 $G$ において $a \in G$ の位数が $m,$ $b \in G$ の位数が $n$ であるとする. $ab = ba,$ $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{ 1\}$ ならば $ab$ の位数は $m,$ $n$ の最小公倍数であることを示せ.

解答例

(i)
$m,$ $n$ の最小公倍数を $\ell$ とおくと, \[ (ab)^\ell = a^\ell b^\ell = (a^m)^{\frac{\ell}{m}}(b^n)^{\frac{\ell}{n}} = 1^{\frac{\ell}{m}}1^{\frac{\ell}{n}} = 1.\]
(ii)
正の整数 $i$ が $(ab)^i = 1$ を満たすとき, $a^ib^i = 1$ の両辺の右から $b^{-i}$ を掛けると, \[ a^i = b^{-i} \in \langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{ 1\}\] となるから, $i$ は $m,$ $n$ の公倍数である.
(i), (ii) より, $ab$ の位数は $m,$ $n$ の最小公倍数である.

問題≪元の位数が $2$ 以下の群の可換性≫

 任意の元の位数が $2$ 以下である群 $G$ は可換群であることを示せ.

解答例

 任意の $a \in G$ に対して, $a$ の位数は $1$ または $2$ だから, $a^2 = 1.$ 両辺に $a^{-1}$ を掛けると, $a = a^{-1}.$ ゆえに, 任意の $a,$ $b \in G$ に対して \[ ab = a^{-1}b^{-1} = (ba)^{-1} = ba.\] これは $G$ が可換群であることを意味する.

問題≪指数 $2$ の部分群の正規性≫

 群 $G$ における部分群 $H$ の指数が $2$ ならば, $H$ は $G$ の正規部分群であることを示せ.

解答例

(i)
$g \in H$ のとき. 任意の $h \in H$ に対して \[ ghg^{-1} \in H, \quad h = gg^{-1}hgg^{-1} \in gHg^{-1}\] となるから, $gHg^{-1} = H.$
(ii)
$g \in G\setminus H$ のとき. \[ G = H\cup gH = H\cup Hg, \quad H\cap gH = H\cap Hg = \varnothing\] となるから, $gH = Hg$ より, $gHg^{-1} = H.$
(i), (ii) より, 任意の $g \in G$ に対して $gHg^{-1} = H$ となるから, $H$ は $G$ の正規部分群である.

問題≪有限群から整数全体への準同型≫

 有限群 $G$ から整数全体の成す加法群 $\mathbb Z$ への任意の準同型写像 $f$ は零写像であることを示せ.

解答例

 任意の $g \in G$ に対して, ある整数 $n > 0$ に対して $g^n = 1$ となるから, \[ nf(g) = f(g^n) = f(1) = 0\] となり, $f(g) = 0$ となる. ゆえに, $f$ は零写像である.

問題≪有限巡回群の Pontryagin 双対≫

 任意の整数 $n \neq 0$ に対して $\mathrm{Hom}\,(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z) \cong \mathbb Z/n\mathbb Z$ を示せ.

解答例

 任意の $\varphi \in \mathrm{Hom}\,(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z)$ に対して, \[ n\varphi (1) = \varphi (n) = \varphi (0) = 0\] より, $\varphi (1) \in n^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z.$ よって, 写像 \[\mathrm{Hom}\,(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z) \to n^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z;\varphi\mapsto\varphi (1)\] が定まる. この写像は明らかに準同型写像であり, 全単射である. ゆえに, \[\mathrm{Hom}\,(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z) \cong n^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z \cong \mathbb Z/n\mathbb Z.\]

問題≪有限体の乗法群≫

 任意の素数 $p$ に対して, $p$ 個の元から成る有限体 $\mathbb F_p$ の乗法群 $\mathbb F_p{}^\times = \mathbb F_p\setminus\{ 0\}$ は巡回群である.

解答例

 Fermat の小定理により, \[\mathbb F_p{}^\times = \{ a \in \mathbb F_p|a^{p-1} = 1\}.\] $\mathbb F_p{}^\times$ には位数 $p-1$ の元 $\zeta$ が存在することが $\mathbb F_p{}^\times$ の元の位数による分類から分かる(後日紹介). \[\langle\zeta\rangle \subset \mathbb F_p{}^\times\] の両辺の位数は $p-1$ であるから, 両辺は一致する. 左辺は巡回群だから, $\mathbb F_p{}^\times$ は巡回群である.

問題≪Cayley の定理≫

 位数 $n$ の有限群 $G$ は $n$ 次対称群 $S_n$ の部分群であることを示せ.

解答例

 $G = \{ g_1,\ \cdots,\ g_n\}$ とする. $G \to G;x \mapsto ax$ は全単射だから, $g_{\sigma _a(k)} = ag_k$ により $n$ 文字の置換 $\sigma _a \in S_n$ が定まる. $\sigma _b\circ\sigma _a = \sigma _{ab},$ $\sigma _a = 1 \Longrightarrow a = 1$ から $G \to S_n;a \mapsto \sigma _a$ は単射準同型なので, $G$ は $S_n$ の部分群である.