COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ヘロンの三角形

ヘロンの三角形

定義≪ヘロンの三角形≫

 $3$ 辺の長さと面積が整数であるような三角形をヘロンの三角形(Heronian triangle)と呼ぶ. また, ヘロンの三角形の $3$ 辺の長さ $a,$ $b,$ $c$ の組 $(a,b,c)$ $(a \leqq b \leqq c)$をヘロン数(Heronian number)と呼ぶ.

定理≪ヘロンの三角形とピタゴラスの三角形の関係≫

 すべてのヘロンの三角形は, ある辺の長さ $a$ について $2a$ のある約数倍(例えば最小辺の $2$ 倍)に拡大すると, $2$ つのピタゴラスの三角形の和集合または差集合として表せる.

証明

 こちらを参照.

定理≪ヘロン数の一般式≫

 すべてのヘロン数の比は, \[ mn > k^2 \geqq \frac{m^2n}{2m+n}, \quad m \geqq n\] なる互いに素な正の整数 $m,$ $n,$ $k$ を用いて \[ a:b:c = n(m^2+k^2):m(n^2+k^2):(m+n)(mn-k^2)\] で表される.

問題

数学 I: 図形と計量

問題≪ヘロンの三角形≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおく.
(1)
$a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ と $S = \triangle\mathrm{ABC}$ を用いて $\dfrac{\mathrm{AH}}{c},$ $\dfrac{\mathrm{BH}}{c},$ $\dfrac{\mathrm{CH}}{b}$ を表せ.
(2)
$a,$ $b,$ $c$ と $S$ がすべて整数であるとき, $a\cdot\mathrm{AH},$ $2a\cdot\mathrm{BH},$ $2a\cdot\mathrm{CH}$ はすべて整数であることを示せ.

解答例

 こちらを参照.