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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ヘロンの三角形

ヘロンの三角形

定義≪ヘロンの三角形≫

 $3$ 辺の長さと面積が整数であるような三角形をヘロンの三角形(Heronian triangle)と呼ぶ. また, ヘロンの三角形の $3$ 辺の長さ $a,$ $b,$ $c$ の組 $(a,b,c)$ $(a \leqq b \leqq c)$をヘロン数(Heronian number)と呼ぶ.

定理≪ヘロンの三角形とピタゴラスの三角形の関係≫

 すべてのヘロンの三角形は, ある辺の長さ $a$ について $2a$ のある約数倍(例えば最小辺の $2$ 倍)に拡大すると, $2$ つのピタゴラスの三角形の和集合または差集合として表せる.

証明

 こちらを参照.

定理≪ヘロン数の一般式≫

 すべてのヘロン数の比は, \[ mn > k^2 \geqq \frac{m^2n}{2m+n}, \quad m \geqq n\] なる互いに素な正の整数 $m,$ $n,$ $k$ を用いて \[ a:b:c = n(m^2+k^2):m(n^2+k^2):(m+n)(mn-k^2)\] で表される.

問題

数学 I: 図形と軽量

問題≪ヘロンの三角形≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さと面積がすべて整数であるとき, 頂点 $\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, $\mathrm{BC}\cdot\mathrm{AH},$ $2\mathrm{BC}\cdot\mathrm{BH},$ $2\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CH}$ はすべて整数であることを示せ.

解答例

\begin{align*} \frac{\mathrm{AH}}{c} &= \sin B = \frac{2\triangle\mathrm{ABC}}{ca}, \\ \frac{\mathrm{BH}}{c} &= \cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}, \\ \frac{\mathrm{CH}}{b} &= \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align*} から, $\triangle\mathrm{ABC}$ の $3$ 辺の長さと面積がすべて整数であるとき, \begin{align*} a\cdot\mathrm{AH} &= 2\triangle\mathrm{ABC}, \\ 2a\cdot\mathrm{BH} &= c^2+a^2-b^2, \\ 2a\cdot\mathrm{CH} &= a^2+b^2-c^2 \end{align*} は整数である.

背景

 $3$ 辺の長さと面積がすべて整数であるような三角形を「ヘロンの三角形」(Heronian triangle)と呼ぶ. 本問の結果から, すべての「ヘロンの三角形」は, ある辺の長さ $a$ について $2a$ のある約数倍(例えば最小辺の $2$ 倍)に拡大すると, $3$ 辺の長さがすべて整数であるような $2$ つの直角三角形(「ピタゴラスの三角形」と呼ばれる)の和集合または差集合として表せることが分かる.