COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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ヘロンの三角形

理論

ヘロンの三角形

定義≪ヘロンの三角形≫

 $3$ 辺の長さと面積が整数であるような三角形をヘロンの三角形(Heronian triangle)と呼ぶ.

定理≪ヘロン数の一般解≫

 ヘロンの三角形の $3$ 辺の長さ $a,$ $b,$ $c$ の比は, $a,$ $b,$ $c$ の入れ替えを許せば, \[ mn > k^2 \geqq \frac{m^2n}{2m+n}, \quad m \geqq n\] なる互いに素な正の整数 $m,$ $n,$ $k$ を用いて \[ a:b:c = n(m^2+k^2):m(n^2+k^2):(m+n)(mn-k^2)\] で表される.

二等辺のヘロンの三角形

命題≪二等辺のヘロンの三角形≫

 二等辺三角形であるようなヘロンの三角形の辺の長さ $a,$ $b,$ $b$ は, ピタゴラス数 $(x,y,z)$ を用いて \[ a = 2x,\quad b = z\] の形に表される.

証明

 $a,$ $b,$ $b$ がヘロンの三角形の辺の長さであるとする. その面積 $S$ は, ヘロンの公式により, \begin{align*} S &= \sqrt{\frac{a+2b}{2}\left(\frac{a+2b}{2}-a\right)\left(\frac{a+2b}{2}-b\right) ^2} \\ &= \frac{a}{4}\sqrt{(2b+a)(2b-a)} = \frac{a}{4}\sqrt{4b^2-a^2} \end{align*} である. $a$ が奇数であるとすると, $4b^2-a^2$ も奇数になってしまい, $S$ が整数であることに反する. よって, $a$ は偶数だから, ある正の整数 $x$ を用いて $a = 2x$ と書ける. このとき, \[ S = \frac{2x}{4}\sqrt{4b^2-4x^2} = x\sqrt{b^2-x^2}\] となる. これは整数だから, $b^2-x^2$ は整数であり, したがってある正の整数 $y$ に対して \[ b^2 = x^2+y^2\] が成り立つ. ゆえに, あるピタゴラス数 $(x,y,z)$ に対して $a = 2x,$ $b = z$ となる.

問題

問題≪各辺と各垂線の長さが整数の鋭角三角形≫

 各辺と各垂線の長さが整数であるような鋭角三角形, 直角三角形をそれぞれ $1$ つ求めよ.

解答例

 $\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA} = 3:4:5$ なるピタゴラスの三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 頂点 $\mathrm B$ から辺 $\mathrm{CA}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, $\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{AHB}$ は相似になり, \[\mathrm{BH} = \frac{4}{5}\mathrm{AB}\] となるから, $\mathrm{AB} = 15,$ $\mathrm{BC} = 20,$ $\mathrm{CA} = 25$ なる $\triangle\mathrm{ABC}$ を考えれば, 垂線の長さ $\mathrm{AB},$ $\mathrm{BH},$ $\mathrm{CB}$ はすべて整数になる.
 ピタゴラス数 $(x,y,z)$ について, $2x,z,z$ はヘロンの三角形の $3$ 辺の長さになり, $y$ は長さが $2x$ の辺の高さになる(上述の通り). 長さが $z$ の辺の高さを $h$ とおくと, この三角形の面積について \[\frac{1}{2}zh = \frac{1}{2}\cdot 2x\cdot y\] が成り立つから, \[ h = \frac{2xy}{z}\] となる. $(x,y,z)$ が原始的であるときこれは整数とならないが, $(x,y,z)$ を $(xz,yz,z^2)$ で置き換えると $h$ は整数となる. 例えば, $(x,y,z) = (3,4,5)$ の場合を考えると, 各垂線の長さが整数であるような鋭角のヘロンの三角形の辺長 $30,$ $25,$ $25$ が得られる.

問題≪各垂線の長さが整数のヘロンの三角形≫

 直角三角形でも二等辺三角形でもなく, 各垂線の長さが整数であるようなのヘロンの三角形は存在するだろうか.