$a,$ $b,$ $b$ がヘロンの三角形の辺の長さであるとする. その面積 $S$ は, ヘロンの公式により, \begin{align*} S &= \sqrt{\frac{a+2b}{2}\left(\frac{a+2b}{2}-a\right)\left(\frac{a+2b}{2}-b\right) ^2} \\ &= \frac{a}{4}\sqrt{(2b+a)(2b-a)} = \frac{a}{4}\sqrt{4b^2-a^2} \end{align*} である. $a$ が奇数であるとすると, $4b^2-a^2$ も奇数になってしまい, $S$ が整数であることに反する. よって, $a$ は偶数だから, ある正の整数 $x$ を用いて $a = 2x$ と書ける. このとき, \[ S = \frac{2x}{4}\sqrt{4b^2-4x^2} = x\sqrt{b^2-x^2}\] となる. これは整数だから, $b^2-x^2$ は整数であり, したがってある正の整数 $y$ に対して \[ b^2 = x^2+y^2\] が成り立つ. ゆえに, あるピタゴラス数 $(x,y,z)$ に対して $a = 2x,$ $b = z$ となる.

　$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA} = 3:4:5$ なるピタゴラスの三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 頂点 $\mathrm B$ から辺 $\mathrm{CA}$ に下した垂線の足を $\mathrm H$ とおくと, $\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{AHB}$ は相似になり, \[\mathrm{BH} = \frac{4}{5}\mathrm{AB}\] となるから, $\mathrm{AB} = 15,$ $\mathrm{BC} = 20,$ $\mathrm{CA} = 25$ なる $\triangle\mathrm{ABC}$ を考えれば, 垂線の長さ $\mathrm{AB},$ $\mathrm{BH},$ $\mathrm{CB}$ はすべて整数になる.
　ピタゴラス数 $(x,y,z)$ について, $2x,z,z$ はヘロンの三角形の $3$ 辺の長さになり, $y$ は長さが $2x$ の辺の高さになる(上述の通り). 長さが $z$ の辺の高さを $h$ とおくと, この三角形の面積について \[\frac{1}{2}zh = \frac{1}{2}\cdot 2x\cdot y\] が成り立つから, \[ h = \frac{2xy}{z}\] となる. $(x,y,z)$ が原始的であるときこれは整数とならないが, $(x,y,z)$ を $(xz,yz,z^2)$ で置き換えると $h$ は整数となる. 例えば, $(x,y,z) = (3,4,5)$ の場合を考えると, 各垂線の長さが整数であるような鋭角のヘロンの三角形の辺長 $30,$ $25,$ $25$ が得られる.