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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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高次方程式

高次方程式

 高次方程式は, しばしば因数分解や因数定理を利用して解くことができる.

問題≪立方体倍積問題≫

 $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 半直線 $\mathrm{AB}$ 上に $\mathrm{BD} = 1$ なる点 $\mathrm D$ をとる. また, 直線 $\mathrm{BC}$ 上の点 $\mathrm E$ を, $\mathrm{AE}$ と $\mathrm{CD}$ の交点 $\mathrm F$ について $\mathrm{EF} = 1$ となるようにとり, $x = \mathrm{AF}$ とおく. さらに, 点 $\mathrm F$ を通り $\mathrm{AC}$ と平行な直線と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm G$ とおく.
(1)
$x$ を用いて線分 $\mathrm{FG},$ $\mathrm{CF}$ の長さを表せ.
(2)
$x^4+2x^3-2x-4 = 0$ が成り立つことを示せ.
(3)
$x$ の値を求めよ.

解答例

 こちらを参照.
 $3$ 次方程式は, 解と係数の関係を利用して, $2$ 次方程式に帰着させて解くことができる.

定理≪方程式の解と係数の関係≫

 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ ($a \neq 0$)を複素数とする.
(1)
$2$ 次方程式 $ax^2+bx+c = 0$ の $2$ 解が $\alpha,$ $\beta$ であるためには, \[\alpha +\beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}\] の成り立つことが必要十分である.
(2)
$3$ 次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d = 0$ の $3$ 解が $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ であるためには, \[\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a},\ \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha = \frac{c}{a},\ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\] の成り立つことが必要十分である.

証明

 $a(x-\alpha )(x-\beta ),$ $a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ を展開して係数を比較することにより分かる.

問題≪カルダノによる $3$ 次方程式の解法≫

 $3$ 次方程式 $x^3-x-1 = 0\ \cdots [1]$ について, 次の問いに答えよ.
(1)
$x = u+v$ であり, $u^3+v^3-1 = 3uv-1 = 0\ \cdots [2]$ であるならば, $[1]$ が成り立つことを示せ.
(2)
$[2]$ を満たす複素数 $u,$ $v$ について, $u^3,$ $v^3$ を解にもつ $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ.
(3)
$1$ の虚数立方根 $\omega = \dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}$ を用いて $[1]$ の解を表せ.

解答例

 こちらを参照.