? 群の準同型写像

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群の準同型写像

理論

群の準同型写像

 このページを通して, 群の演算はすべて乗法の記号を使って表すことにする.

定義≪群の準同型写像≫

 $G,$ $G'$ を群とする.
(1)
写像 $f:G\to G'$ が \[ f(ab) = f(a)f(b) \quad (a,b \in G)\] を満たすとき, $f$ を群の準同型写像(homomorphism)と呼ぶ. $G$ から $G'$ への準同型写像全体から成る集合を $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gp}}(G,G')$ で表す.
(2)
全単射である群の準同型写像を, 群の同型写像(isomorphism)と呼ぶ. $G$ から $G'$ への同型写像が存在するとき, $G,$ $G'$ は同型(isomorphic)であるといい, $G \cong G'$ と表す.
(3)
$G$ から $G$ 自身への準同型写像を $G$ の自己準同型写像(endomorphism)と呼び, $G$ から $G$ 自身への同型写像を $G$ の自己同型写像(automorphism)と呼ぶ.

命題≪準同型写像による単位元と逆元の値≫

 写像 $f:G \to G'$ が群の準同型写像であるとき, \[ f(1) = 1, \quad f(a^{-1}) = f(a)^{-1}\ (a \in G)\] が成り立つ.

証明

 $f(1) = f(1^2) = f(1)^2,$ $f(a)f(a^{-1}) = f(aa^{-1}) = f(1) = 1$ から従う.

命題≪群の準同型写像の合成≫

 $G,$ $G'$ を群とする.
(1)
$G$ から $G'$ への群の準同型写像 $f,$ $g$ の合成写像 $g\circ f$ もまた群の準同型写像である.
(2)
$G$ の同型写像 $f$ の逆写像 $f^{-1}$ もまた群の同型写像である.
よって, $G$ の同型写像全体は写像の合成に関して群を成す. その単位元は $G$ の恒等写像であり, $G$ の同型写像 $f$ の逆元は $f$ の逆写像 $f^{-1}$ である.

証明

(1)
$a,$ $b \in G$ に対して, \begin{align*} (g\circ f)(ab) &= g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) \\ &= g(f(a))g(f(b)) = (g\circ f)(a)(g\circ f)(b) \end{align*} が成り立つ. ゆえに, $g\circ f$ は群の準同型写像である.
(2)
$a',$ $b' \in G'$ に対して, $a = f^{-1}(a'),$ $b = f^{-1}(b')$ とおくと, \begin{align*} f^{-1}(a'b') &= f^{-1}(f(a)f(b)) = f^{-1}(f(ab)) \\ &= ab = f^{-1}(a')f^{-1}(b') \end{align*} となる. ゆえに, $f^{-1}$ は群の同型写像である.

定義≪群の自己同型群≫

 群 $G$ の自己同型写像全体の成す群を $G$ の自己同型群(automorphism group)と呼び, $\mathrm{Aut}\,(G)$ で表す.

命題≪群から可換群への準同型写像の成す群≫

 群 $G$ から可換群 $G'$ への準同型写像全体は, $G$ から $G'$ への写像全体から成る群 $G'^G$ の部分群を成す.

証明

 $G$ から $G'$ への準同型写像 $\varphi,$ $\psi$ に対して, $a,$ $b \in G$ とすると $G'$ の可換性により \begin{align*} \varphi (ab)+\psi (ab) &= \varphi (a)+\varphi (b)+\psi (a)+\psi (b) \\ &= \varphi (a)+\psi (a)+\varphi (b)+\psi (b), \\ -\varphi (ab) &= -(\varphi (a)+\varphi (b)) \\ &= -\varphi (b)-\psi (a) \\ &= -\varphi (a)-\psi (b) \end{align*} となるから, $\varphi +\psi = (\varphi (a)+\psi (a))_{a \in G},$ $-\varphi = (-\varphi (a))_{a \in G}$ は準同型写像である.

像と核

定義≪準同型写像の像≫

 群の準同型写像 $f:G\to G'$ に対して, \[ f(G) = \{ f(a)|a \in G\}\] を $f$ の(image)と呼び, $\mathrm{Im}\,(f)$ で表す.

命題≪準同型写像による部分群の像は部分群≫

 $f:G \to G'$ を群の準同型写像, $H$ を $G$ の部分群とする. このとき, $f(H)$ は $G'$ の部分群である. 特に, $f$ の像 $\mathrm{Im}\,(f)$ は $G'$ の部分群である. また, $f$ が全射で, $H'$ が $G'$ の正規部分群であるならば, $f^{-1}(H')$ は $G$ の正規部分群である.

証明

 $H \neq \varnothing$ から $f(H) \neq \varnothing$ である. また, $a',$ $b' \in f(H)$ であるとき, $a',$ $b'$ は $a' = f(a),$ $b' = f(b)$ ($a,$ $b \in H$)と書けて, \begin{align*} a'b' &= f(a)f(b) = f(ab) \quad (ab \in H), \\ a'^{-1} &= f(a)^{-1} = f(a^{-1}) \quad (a^{-1} \in H) \end{align*} となるから, $a'b',$ $a'^{-1} \in f(H)$ となる. よって, $f(H)$ は $G'$ の部分群である.
 さらに, $f$ が全射であり, $H$ が $G'$ の正規部分群であるとする. このとき, $a' \in G',$ $x' \in f(H)$ であるとすると, $a' = f(a),$ $x' = f(x)$ ($a,$ $x \in H$)と書けて \[ a'x'a'^{-1} = f(a)f(x)f(a)^{-1} = f(axa^{-1})\] は $f(a^{-1}Ha^{-1}) = f(H)$ の元となる. ゆえに, $f(H)$ は $G'$ の正規部分群である.

定義≪準同型写像の核≫

 群の準同型写像 $f:G\to G'$ による $G'$ の単位元 $1$ の逆像 \[ f^{-1}(\{ 1\}) = \{ a \in G|f(a) = 1\}\] を $f$ の(kernel)と呼び, $\mathrm{Ker}\,(f)$ で表す.

命題≪準同型写像による部分群の逆像は部分群≫

 $f:G \to G'$ を群の準同型写像, $H'$ を $G'$ の部分群とする. このとき, $f^{-1}(H')$ は $G$ の部分群である. また, $H'$ が $G'$ の正規部分群であるならば, $f^{-1}(H')$ は $G$ の正規部分群である. 特に, $f$ の核 $\mathrm{Ker}\,(f)$ は $G$ の正規部分群である.

証明

 $f(1) = 1$ であるので, $1 \in f^{-1}(H'),$ 特に $f^{-1}(H') \neq \varnothing$ である. また, $a,$ $b \in f^{-1}(H')$ であるとき, $f(a),$ $f(b) \in H'$ から \begin{align*} f(ab) &= f(a)f(b) \in H', \\ f(a^{-1}) &= f(a)^{-1} \in H' \end{align*} となるので, $ab,$ $a^{-1} \in f^{-1}(H')$ となる. よって, $f^{-1}(H')$ は $G$ の部分群である.
 さらに, $H'$ が $G'$ の正規部分群であるとする. このとき, $a \in G,$ $x \in f^{-1}(H')$ であるとすると, \[ f(axa^{-1}) = f(a)f(x)f(a)^{-1} \in f(a)H'f(a)^{-1} = H'\] となるから, $axa^{-1} \in f^{-1}(H')$ が成り立つ. ゆえに, $f^{-1}(H')$ は $G$ の正規部分群である.

命題≪準同型写像の単射性の特徴付け≫

 群の準同型写像 $f:G\to G'$ について, $f$ が単射であるためには, $\mathrm{Ker}\,(f) = \{ 1\}$ であることが必要十分である.

証明

\begin{align*} f\text{ が単射} &\iff \text{「}f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\ (a,\ b \in G)\text{」} \\ &\iff \text{「}f(a)f(b)^{-1} = 1 \Rightarrow a = b\ (a,\ b \in G)\text{」} \\ &\iff \text{「}f(ab^{-1}) = 1 \Rightarrow ab^{-1} = 1\ (a,\ b \in G)\text{」} \\ &\iff \text{「}f(a) = 1 \Rightarrow a = 1\ (a \in G)\text{」} \\ &\iff \mathrm{Ker}\,(f) = \{ 1\} \end{align*} から, 求める結果が得られる.

準同型定理

定理≪群の準同型定理≫

 群の準同型写像 $f:G \to G'$ から定まる写像 \[\bar f:G/\mathrm{Ker}\,(f) \to \mathrm{Im}\,(f);a\,\mathrm{Ker}(f) \mapsto f(a)\] は同型写像である.

証明

 $N = \mathrm{Ker}\,(f)$ とおく. $\bar f$ が全単射であることは, 商集合の性質から従う. $aN,$ $bN \in G/N$ ($a,$ $b \in N$)に対して, $G/N$ の二項演算の定義と $f$ が準同型写像であることから, \begin{align*} \bar f((aN)(bN)) &= \bar f(abN) = f(ab) \\ &= f(a)+f(b) = \bar f(aN)+\bar f(bN) \end{align*} が成り立つので, $\bar f$ は準同型写像である. ゆえに, $\bar f$ は同型写像である.

定理≪群の第一同型定理≫

 群の全射準同型写像 $f:G\to G'$ と $G'$ の正規部分群 $N'$ に対して, $N = f^{-1}(N')$ とおくとき, \[ G/N \to G'/N';aN \mapsto f(a)N'\] は同型写像である.

証明

 $f:G\to G'$ と標準的全射 $\pi :G' \to G'/N'$ の合成写像 $(\pi\circ f):G \to G'/N'$ に準同型定理を適用すると, \[\mathrm{Ker}\,(\pi\circ f) = f^{-1}(\pi ^{-1}(\{ 1\})) = f^{-1}(N') = N\] であることから定理が従う.

定理≪群の第二同型定理≫

 $G$ を群, $H$ を $G$ の部分群, $N$ を $G$ の正規部分群とする. このとき, $H\cap N$ は $H$ の正規部分群, $N$ は $HN$ の正規部分群であり, \[ H/(H\cap N) \to HN/N;h(H\cap N) \mapsto hN\] は同型写像である.

証明

 各 $h \in H,$ $x \in H\cap N$ に対して, $N$ の正規性により \[ hxh^{-1} \in hNh^{-1} = N\] となるから, $H\cap N$ は $H$ の正規部分群である. また, 各 $h \in H,$ $n \in N,$ $x \in N$ に対して, $N$ の正規性により \[ (hn)x(hn)^{-1} = hnxn^{-1}h^{-1} \in hNh^{-1} = N\] となるから, $N$ は $HN$ の正規部分群である.
 さらに, 各 $h \in H,$ $n \in N$ に対して, $nN = N$ から $hnN = hN$ が成り立つので, 標準的な準同型写像の合成 \[ H \to HN \to HN/N\] は全射である. この核は明らかに $H\cap N$ であるから, 準同型定理により定理が従う.

定理≪群の第三同型定理≫

 $G$ を群, $N$ を $G$ の正規部分群, $K$ を $N$ の正規部分群とする. このとき, $K$ は $G$ の正規部分群で, $N/K$ は $G/K$ の正規部分群であって, \[ (G/K)/(N/K) \to G/N;(aK)(N/K) \mapsto aN\] は同型写像である.

証明

 前半は明らかである. 写像 \[ G/K \to G/N;aK \mapsto aN\] は $N/K$ を核とする全射準同型写像であるから, 準同型定理により後半の主張が従う.

問題

群の準同型写像

問題≪有限群から整数全体への準同型≫

 有限群 $G$ から整数全体の成す加法群 $\mathbb Z$ への任意の準同型写像 $f$ は零写像であることを示せ.

解答例

 任意の $g \in G$ に対して, ある整数 $n > 0$ に対して $g^n = 1$ となるから, \[ nf(g) = f(g^n) = f(1) = 0\] となり, $f(g) = 0$ となる. ゆえに, $f$ は零写像である.

問題≪有限巡回群の Pontryagin 双対≫

 任意の整数 $n \neq 0$ に対して $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gp}}(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z) \cong \mathbb Z/n\mathbb Z$ を示せ.

解答例

 任意の $\varphi \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gp}}(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z)$ に対して, \[ n\varphi (1) = \varphi (n) = \varphi (0) = 0\] より, $\varphi (1) \in n^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z.$ よって, 写像 \[\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gp}}(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z) \to n^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z;\varphi\mapsto\varphi (1)\] が定まる. この写像は明らかに準同型写像であり, 全単射である. ゆえに, \[\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gp}}(\mathbb Z/n\mathbb Z,\ \mathbb Q/\mathbb Z) \cong n^{-1}\mathbb Z/\mathbb Z \cong \mathbb Z/n\mathbb Z.\]

問題≪Cayley の定理≫

 位数 $n$ の有限群 $G$ は $n$ 次対称群 $\mathfrak S_n$ の部分群と同型であることを示せ.

解答例

 $G = \{ g_1,\ \cdots,\ g_n\}$ とする. $G \to G;x \mapsto ax$ は全単射だから, $g_{\sigma _a(k)} = ag_k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ により $n$ 文字の置換 $\sigma _a \in \mathfrak S_n$ が定まる. $\sigma _b\circ\sigma _a = \sigma _{ab},$ $\sigma _a = 1 \Longrightarrow a = 1$ から $G \to \mathfrak S_n;a \mapsto \sigma _a$ は単射準同型なので, $G$ は $\mathfrak S_n$ の部分群である.