COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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イデアル

 可換環(加法, 減法, 乗法が定義され, 加法, 乗法について交換法則, 結合法則, 分配法則を満たす集合; 例えば整数全体の集合 $\mathbb Z$)を研究において, イデアルの概念は非常に重要である.

イデアル

定義≪イデアル≫

 $A$ を可換環とする. $A$ の空でない部分集合 $I$ が次の条件を満たすとき, $I$ を $A$ のイデアル(ideal)と呼ぶ.
(I1)
$a,$ $b \in I$ $\Longrightarrow$ $a+b \in I$ が成り立つ.
(I2)
$c \in A,$ $a \in I$ $\Longrightarrow$ $ca \in I$ が成り立つ.

注意

 上記の $2$ つの条件は, 次の条件にまとめられる.
(I)
$c_1,$ $c_2 \in A,$ $a_1,$ $a_2 \in I$ $\Rightarrow$ $c_1a_1+c_2a_2 \in I$ が成り立つ.

例≪イデアル≫

 $A$ を可換環とする.
(1)
$\{ 0\}$ と $A$ 自身は $A$ のイデアルである. これを $A$ の自明なイデアル(trivial ideal)と呼ぶ.
(2)
$a_1,$ $\cdots,$ $a_n \in A$ に対して, \[\{ c_1a_1+\cdots +c_na_n|c_1,\cdots,c_n \in A\}\] は $A$ のイデアルである. これを $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ により生成される $A$ のイデアル(ideal of $A$ generated by $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$)と呼び, $\langle a_1,\cdots,a_n\rangle$ で表す. 特に, $a \in A$ に対して, \[\langle a\rangle = \{ ca|c \in A\}\] を $a$ により生成される $A$ の単項イデアル(principal ideal)と呼ぶ. 特に, すべての整数 $m$ に対して, $m$ の倍数全体 $\{ mq|q \in \mathbb Z\}$ は整数環 $\mathbb Z$ のイデアルである.
(3)
$S$ を $A$ の空でない部分集合とする. $S$ を含むような $A$ のイデアルすべての共通部分は, $S$ を含むような $A$ の最小のイデアルとなる. このイデアルを $S$ により生成される $A$ のイデアルと呼び, $\langle S\rangle$ で表す. また, $S$ をその生成系(generating set), $S$ の元をその生成元(generator)と呼ぶ.

定理≪整数環のイデアルの単項性≫

 整数環 $\mathbb Z$ のイデアルはすべて単項イデアルである.

問題

数学 A: 整数の性質

問題≪$1$ 次不定方程式とイデアル≫

 整数全体の集合を $\mathbb Z$ で表す. $a,$ $b \in \mathbb Z,$ $ab \neq 0$ として, \[ I = \{ ax+by|x,\ y \in \mathbb Z\}\] とおく. 各整数 $m$ に対して $m\mathbb Z = \{ mz|z \in \mathbb Z\}$ と定める. 次のことを示せ.
(1)
$c_1,$ $c_2 \in \mathbb Z,$ $i_1,$ $i_2 \in I$ $\Longrightarrow$ $c_1i_1+c_2i_2 \in I$ が成り立つ.
(2)
$I$ に属する最小の正の整数を $d$ とおく. このとき, $I = d\mathbb Z$ である.
(3)
$a,$ $b$ の最大公約数を $g$ とおく. このとき, $I = g\mathbb Z$ である.

解答例

 こちらを参照.