イデアル
可換環 (加法, 減法, 乗法が定義され, 加法, 乗法について交換法則, 結合法則, 分配法則を満たす集合; 例えば整数全体の集合 $\mathbb Z$) の理論において,
イデアルの概念は非常に重要である.
イデアル
定義《イデアル》
$A$ を可換環とする.
$A$ の空でない部分集合 $I$ が次の条件を満たすとき, $I$ を $A$ のイデアル (ideal) と呼ぶ.
- (I1)
- $a,$ $b \in I$ $\Longrightarrow$ $a+b \in I$ が成り立つ.
- (I2)
- $c \in A,$ $a \in I$ $\Longrightarrow$ $ca \in I$ が成り立つ.
注意
上記の $2$ つの条件は, 次の条件にまとめられる.
- (I)
- $c_1,$ $c_2 \in A,$ $a_1,$ $a_2 \in I$ $\Rightarrow$ $c_1a_1+c_2a_2 \in I$ が成り立つ.
例《イデアル》
$A$ を可換環とする.
- (1)
- $\{ 0\}$ と $A$ 自身は $A$ のイデアルである. これを $A$ の自明なイデアル (trivial ideal) と呼ぶ.
- (2)
- $g_1,$ $\cdots,$ $g_n \in A$ に対して, \[\{ c_1g_1+\cdots +c_ng_n|c_1,\cdots,c_n \in A\}\] は $A$ のイデアルである. これを $g_1,$ $\cdots,$ $g_n$ により生成される $A$ のイデアル (ideal of $A$ generated by $g_1,$ $\cdots,$ $g_n$) と呼び, $\langle g_1,\cdots,g_n\rangle$ で表す. 特に, $g \in A$ に対して, \[\langle g\rangle = \{ cg|c \in A\}\] を $g$ により生成される $A$ の単項イデアル (principal ideal) と呼ぶ. 特に, すべての整数 $m$ に対して, $m$ の倍数全体 $\{ mq|q \in \mathbb Z\}$ は整数環 $\mathbb Z$ のイデアルである.
- (3)
- $S$ を $A$ の空でない部分集合とする. $S$ を含むような $A$ のイデアルすべての共通部分は, $S$ を含むような $A$ の最小のイデアルとなる. このイデアルを $S$ により生成される $A$ のイデアルと呼び, $\langle S\rangle$ で表す. また, $S$ をその生成系 (generating set), $S$ の元をその生成元 (generator) と呼ぶ.
定理《整数環のイデアルの単項性》
整数環 $\mathbb Z$ のイデアルはすべて単項イデアルである.
証明
$I$ を $\mathbb Z$ の任意のイデアルとする.
- (i)
- $I = \{ 0\}$ のとき. $I = \langle 0\rangle$ である.
- (ii)
- $I \neq \{ 0\}$ のとき. $a \in I \Longrightarrow -a \in I$ が成り立つから, $I$ は正の整数を含む. $I$ に属する正の整数のうち絶対値が最小の整数を $m$ とおく. このとき, $a$ を $I$ に属する任意の整数とし, $a$ を $m$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおくと, \[ r = a+m(-q) \in I, \quad 0 \leqq r < m\] となるから, $m$ の最小性により $r = 0,$ $a = mq$ となる. よって, $I = \langle m\rangle$ である.
高校数学の問題
整数の性質
問題《$1$ 次不定方程式とイデアル》
整数全体の集合を $\mathbb Z$ で表す.
$a,$ $b \in \mathbb Z,$ $ab \neq 0$ として,
\[ I = \{ ax+by \mid x,\ y \in \mathbb Z\}\]
とおく.
各整数 $m$ に対して $m\mathbb Z = \{ mz \mid z \in \mathbb Z\}$ と定める.
次のことを示せ.
- (1)
- $c_1,$ $c_2 \in \mathbb Z,$ $i_1,$ $i_2 \in I$ $\Longrightarrow$ $c_1i_1+c_2i_2 \in I$ が成り立つ.
- (2)
- $I$ に属する最小の正の整数を $d$ とおく. このとき, $I = d\mathbb Z$ である.
- (3)
- $a,$ $b$ の最大公約数を $g$ とおく. このとき, $I = g\mathbb Z$ である.
解答例
こちらを参照.