COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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広義積分(高校発展)

広義積分

問題≪ガンマ関数≫

 $n$ を正の整数とする.
(1)
$x > 0$ において $e^x > \dfrac{x^n}{n!}$ が成り立つことを示せ.
(2)
$\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ が成り立つことを示せ.
(3)
極限 $\mathit\Gamma (n) = \displaystyle\lim\limits_{G \to \infty}\int_0^Gt^{n-1}e^{-t}dt$ を求めよ.
[大分大]

解答例

(1)
$f_n(x) = e^x-\dfrac{x^n}{n!}\ (x \geqq 0)$ とおく. $f_n(x) > 0$ $(x > 0)$ が成り立つことを数学的帰納法で示す.
(i)
$f_1(x) = e^x-x$ から, $x > 0$ において, $f_1{}'(x) = e^x-1 > 0$ であり, したがって $f_1(x) > f_1(0) = 0$ が成り立つ.
(ii)
$n = m$ ($m$: 正の整数)のとき $f_n(x) > 0$ $(x > 0)$ が成り立つとすると, $f_{m+1}(x) = e^x-\dfrac{x^{m+1}}{(m+1)!}$ から, $x > 0$ において, \[ f_{m+1}{}'(x) = e^x-\frac{x^m}{m!} = f_m(x) > 0\] となり, $f_{m+1}(x) > f_{m+1}(0) = 0$ となるので, $n = m+1$ のとき $f_n(x) > 0$ $(x > 0)$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対し, $x > 0$ において, $f_n(x) > 0$ つまり $e^x > \dfrac{x^n}{n!}$ が成り立つ.
(2)
$x > 0$ において, (1) から $e^x > \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ であるので, \[ 0 < \frac{x^n}{e^x} < \frac{(n+1)!}{x}\] が成り立つ. $x \to \infty$ のとき右辺は $0$ に収束するから, 挟みうちの原理により, $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x} = 0$ が成り立つ.
(3)
各正の数 $G$ に対して $\mathit\Gamma _G(n) = \displaystyle\int_0^Gt^{n-1}e^{-t}dt$ とおく. $n \geqq 2$ のとき, \begin{align*} \mathit\Gamma _G(n) &= \int_0^Gt^{n-1}(-e^{-t})'dt \\ &= \big[ t^{n-1}(-e^{-t})\big] _0^G-\int_0^G(n-1)t^{n-2}(-e^{-t})dt \\ &= -G^{n-1}e^{-G}+(n-1)\mathit\Gamma _G(n-1) \end{align*} であるので, $G \to \infty$ のときの極限をとると, (2) の結果から \[\mathit\Gamma (n) = (n-1)\mathit\Gamma (n-1)\] が得られる. また, \begin{align*} \mathit\Gamma (1) &= \lim\limits_{G \to \infty}\int_0^Ge^{-t}dt = \lim\limits_{G \to \infty}\big[ -e^{-t}\big] _0^G \\ &= \lim\limits_{G \to \infty}(1-e^{-G}) = 1 \end{align*} であるから, $n \geqq 2$ のとき \[\mathit\Gamma (n) = (n-1)\cdots 1\cdot\mathit\Gamma (1) = (n-1)!\] が成り立つ. ゆえに, $\mathit\Gamma (n) = (n-1)!\ (n \geqq 2),$ $\mathit\Gamma (1) = 1$ である.

背景

  • 定積分 $\displaystyle\int_a^bf(x)dx$ の区間の端点 $a$ または $b$ に関する極限を「広義積分」(improper integral)と呼ぶ. 例えば, \begin{align*} \int_0^be^{-x}dx &= \big[ -e^{-x}\big] _0^b = -e^{-b}+1 \\ &\to 1 \quad (b \to \infty ), \\ \int_a^1\log xdx &= \big[ x\log x-x\big] _a^1 = -1-(a\log a-a) \\ &\to -1 \quad (a \to +0) \end{align*} であるから, $\displaystyle\lim\limits_{b \to \infty}\int_0^be^{-x}dx = 1,$ $\displaystyle\lim\limits_{a \to +0}\int_a^1\log xdx = -1$ である. これらの「広義積分」は, それぞれ $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}dx = 1,$ $\displaystyle\int_0^1\log xdx = -1$ と表される.
  • 「広義積分」 $\mathit\Gamma (x) = \displaystyle\lim\limits_{G \to \infty}\int_0^Gt^{x-1}e^{-t}dt$ で定義される関数 $\mathit\Gamma (x)$ を「ガンマ関数」(Gamma function)と呼ぶ. 本問で示したように正の整数 $n$ に対して $\mathit\Gamma (n) = (n-1)!$ が成り立つので,「ガンマ関数」は階乗の概念を一般化した関数ということができる.

問題≪減衰曲線に関する面積の極限≫

 正の整数 $n$ に対して, 曲線 $y = e^{-x}\sin x$ と直線 $x = 0,$ $x = n\pi,$ $x$ 軸で囲まれた領域の面積を $S_n$ とおく. 極限値 $\lim\limits_{n \to \infty}S_n$ を求めよ.

解答例

\[ T_k = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi}e^{-x}|\sin x|dx \quad (1 \leqq k \leqq n)\] とおく.
このとき, \[ S_n = \int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin x|dx = \sum\limits_{k = 1}^nT_k \quad \cdots [1]\] となる. $x = t+(k-1)\pi$ とおくと, $0 \leqq t \leqq \pi$ において \[ |\sin x| = |\sin (t+(k-1)\pi )| = |(-1)^{k-1}\sin t| = \sin t\] となるから, \[ T_k = e^{-(k-1)\pi}\int_0^\pi e^{-t}\sin tdt\] となる. $I = \displaystyle\int e^{-t}\sin tdt$ とおくと, \begin{align*} I &= \int e^{-t}(-\cos t)'dt \\ &= -e^{-t}\cos t-\int e^{-t}\cos tdt \\ &= -e^{-t}\cos t-\int e^{-t}(\sin t)'dt \\ &= -e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t-I \end{align*} から
$I = -\dfrac{1}{2}e^{-t}(\sin t+\cos t)+C$ ($C$: 定数)
となるので, \begin{align*} T_k &= e^{-(k-1)\pi}\left[-\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t+\cos t)\right] _0^\pi \\ &= \frac{1+e^{-\pi}}{2}e^{-(k-1)\pi}\quad \cdots [2] \end{align*} である. $[1],$ $[2]$ から, 求める極限値は, \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty}S_n &= \lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k = 1}^nT_k = \lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k = 1}^n\frac{1+e^{-\pi}}{2}e^{-(k-1)\pi}\ \cdots [3] \\ &= \frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{-\pi}} = \frac{e^{\pi}+1}{2(e^\pi -1)} \end{align*} である. 最後から $2$ 番目の等号は, $[3]$ が初項 $\dfrac{1+e^{-\pi}}{2},$ 公比 $e^{-\pi}$ の無限等比級数であることによる.

問題≪ガウス積分≫

 $xyz$ 空間において, 曲線 $z = e^{-x^2},$ $y = 0$ を $z$ 軸の周りに $1$ 回転することで得られる曲面 $z = e^{-x^2-y^2}$ と $xy$ 平面で囲まれた立体を $M$ とする.
(1)
$M$ と円柱 $x^2+y^2 \leqq t^2,$ $0 \leqq z \leqq 1$ の共通部分の体積 $V(t)$ を求めよ.
(2)
$M$ と正四角柱 $|x| \leqq t,$ $|y| \leqq t,$ $0 \leqq z \leqq 1$ の共通部分の体積 $W(t)$ を, $\displaystyle\int_{-t}^te^{-x^2}dx$ を用いて表せ.
(3)
(1), (2) の結果を使って \[\lim\limits_{t \to \infty}\int_{-t}^te^{-x^2}dx = \sqrt\pi\] が成り立つことを示せ.
[東京大*]

解答例

(1)
題意の立体を平面 $z = e^{-t^2}$ で $2$ つに切り分けて考える.
$z = e^{-x^2}$ のとき, $x^2 = -\log z,$ $z > 0$ であるから, \begin{align*} V(t) &= \pi t^2e^{-t^2}+\pi\int _{e^{-t^2}}^1x^2dz \\ &= \pi t^2e^{-t^2}-\pi\int_{e^{-t^2}}^1\log zdz \\ &= \pi t^2e^{-t^2}-\pi\left[ z\log z\right] _{e^{-t^2}}^1+\pi\int _{e^{-t^2}}^1z\cdot\frac{1}{z}dz \\ &= \pi t^2e^{-t^2}+\pi e^{-t^2}\log e^{-t^2}+\pi (1-e^{-t^2}) \\ &= \pi (1-e^{-t^2}) \end{align*} である.
(2)
題意の立体の $x$ 座標が $x$ である断面の面積 $S(x)$ は $S(x) = \displaystyle\int_{-t}^te^{-x^2-y^2}dy$ と表されるから, \begin{align*} W(t) &= \int_{-t}^tS(x)dx \\ &= \int_{-t}^t\left(\int_{-t}^te^{-x^2-y^2}dy\right) dx \\ &= \int_{-t}^t\left(\int_{-t}^te^{-x^2}e^{-y^2}dy\right) dx \\ &= \int_{-t}^te^{-x^2}\left(\int_{-t}^te^{-y^2}dy\right) dx \\ &= \left(\int_{-t}^te^{-y^2}dy\right)\left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) \\ & = \left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) ^2 \end{align*} が成り立つ.
(3)
$M$ の体積について, \[\lim\limits_{t \to \infty}V(t) = \lim\limits_{t \to \infty}W(t)\] が成り立つので, \begin{align*} \left(\lim\limits_{t \to \infty}\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) ^2 &= \lim\limits_{t \to \infty}\left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) ^2 \\ &= \lim\limits_{t \to \infty}\pi (1-e^{-t^2}) \\ &= \pi \end{align*} から, $\displaystyle\lim\limits_{t \to \infty}\int_{-t}^te^{-x^2}dx = \sqrt\pi$ が成り立つ.

背景

  • さいころの目のようにとびとびの値をとる変数(離散的確率変数)に対する確率だけでなく, 長さや時間のように連続した値をとる変数(連続的確率変数) $X$ に対して確率を考えることもしばしば必要になる. このような確率を考えるには, $X$ に $f(x) \geqq 0$ なる実数値関数 $f(x)$ を対応させて, $a \leqq X \leqq b$ となる確率 $P(a \leqq X \leqq b)$ が定積分 $\displaystyle\int_a^bf(x)dx$ で表されるようにする. このとき, $f(x)$ を $X$ の確率密度関数と呼ぶ. 連続的確率変数の分布の代表的なものに, 正規分布と呼ばれる分布がある. その確率密度関数は
    $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}$}$e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}}$ ($\mu$: 期待値, $\sigma ^2$: 分散)
    であり(数学 B), 指数関数の部分の係数は「ガウス積分」と呼ばれる「広義積分」$I = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \lim\limits_{G \to \infty}\int_{-G}^Ge^{-x^2}dx$ の値をもとに決定される.
  • 本問では $e^{-x^2}$ のグラフの回転体の体積を利用して $I$ の値を求めたが, $I$ は「ガンマ関数」を使うと \begin{align*} I &= \lim\limits_{G \to \infty}2\int_0^Ge^{-x^2}dx \\ &= \lim\limits_{G \to \infty}2\int_0^Ge^{-u}\cdot\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}du = \mathit\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \end{align*} と表される. 正の整数 $x,$ $y$ に対して \[ B(x,y) = \frac{\mathit\Gamma (x)\mathit\Gamma (y)}{\mathit\Gamma (x+y)}\] が成り立つが(前問こちらを参照), これはすべての正の数 $x,$ $y$ に対して成り立つことが知られている. $x = y = \dfrac{1}{2}$ にこの公式を適用すると, \[ B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \frac{\mathit\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\mathit\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\mathit\Gamma (1)} = I^2\] となる. \begin{align*} B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) &= \lim\limits_{a \to +0}\lim\limits_{b \to 1-0}\int_a^b\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}} \\ &= \lim\limits_{\alpha \to +0}\lim\limits_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0}\int_\alpha ^\beta\frac{2\sin\theta\cos\theta d\theta}{\sin\theta\sqrt{1-\sin ^2\theta}} \\ &= \lim\limits_{\alpha \to +0}\lim\limits_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0}2\int_\alpha ^\beta d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta = \pi \end{align*} であるから, $I = \sqrt\pi$ が成り立つ.
  • (2) の解答で現れたような「多変数関数」の定積分は「重積分」と呼ばれる.

問題≪曲線の等周問題≫

 次の問いに答えよ.
(1)
実数値関数 $u(t)\ (0 \leqq t \leqq \pi )$ は, $u(0) = u(\pi ) = 0$ を満たし, $0 < t < \pi$ において微分可能であり, $u'(t)$ は連続であるとする. $0 \leqq a \leqq \pi$ のとき, \[ u'_\pm (a) = \displaystyle\lim\limits_{h \to \pm 0}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\] と定める. $u(t) = v(t)\sin t\ (0 < t < \pi )$ とするとき, $u'_+(0),$ $u'_-(\pi )$ を用いて $\lim\limits_{\varepsilon \to +0}v(\varepsilon ),$ $\lim\limits_{\varepsilon \to +0}v(\pi -\varepsilon )$ を表せ.
(2)
(1) の $u(t)$ に対して, \[\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\left\{ u'(t)^2-u(t)^2\right\} dt \geqq 0\] が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときの $u(t)$ を求めよ.
(3)
$xy$ 平面上の曲線 $C:x = x(t),y = y(t)\ (0 \leqq t \leqq \pi )$ がある. $0 < t < \pi$ において, $x(t),$ $y(t)$ は微分可能で, $x'(t),$ $y'(t)$ は連続であるとし, $x'(t)^2+y'(t)^2 = 1$ を満たす. さらに, $0 < t < \pi$ において $x'(t) > 0,$ $y'(t) > 0$ であり, $x(0) = 0,$ $y(0) = y(\pi ) = 0$ を満たすとする. $C$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を $S$ とおく. このとき, \[ S = \int_0^{x(\pi )}y(x)dx = \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_\varepsilon ^{\pi -\varepsilon}y(t)x'(t)dt\] を使って \[ S \leqq \dfrac{\pi}{2}\] が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときの $C$ の媒介変数表示を求めよ.
[山梨大*]

解答例

(1)
$u(0) = u(\pi ) = 0$ と $u'_+(0),$ $u'_-(\pi )$ の定義により, \begin{align*} \lim\limits_{\varepsilon \to +0}v(\varepsilon ) &= \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\frac{u(\varepsilon )-u(0)}{\varepsilon}\cdot\frac{\varepsilon}{\sin\varepsilon} \\ &= u'_+(0), \\ \lim\limits_{\varepsilon \to +0}v(\pi -\varepsilon ) &= -\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\frac{u(\pi -\varepsilon )-u(\pi )}{-\varepsilon}\cdot\frac{\varepsilon}{\sin\varepsilon} \\ &= -u'_-(\pi ) \end{align*} が成り立つ.
(2)
積の微分の公式により \begin{align*} &u'(t)^2-u(t)^2 \\ &= \{ v'(t)\sin t+v(t)\cos t\} ^2-v(t)^2\sin ^2t \\ &= v'(t)^2\sin ^2t+2v'(t)v(t)\sin t\cos t \\ &\qquad +v(t)^2(\cos ^2t -\sin ^2t) \\ &= v'(t)^2\sin ^2t+v'(t)v(t)\sin 2t+v(t)^2\cos 2t \\ &= v'(t)^2\sin ^2t+\frac{1}{2}\{ v(t)^2\sin 2t\} ' \\ &\geqq \frac{1}{2}\{ v(t)^2\sin 2t\} ' \end{align*} が成り立つ. よって, $0 < \varepsilon < \pi$ のとき \begin{align*} &\int _\varepsilon ^{\pi -\varepsilon}\{ u'(t)^2-u(t)^2\} dt \\ &\geqq \frac{1}{2}\int _\varepsilon ^{\pi -\varepsilon}\{ v(t)^2\sin 2t\} 'dt \\ &= \frac{1}{2}\{ v(\pi -\varepsilon )^2\sin 2(\pi -\varepsilon )-v(\varepsilon )^2\sin 2\varepsilon \} \end{align*} であるから, (1) の結果により \begin{align*} &\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int _\varepsilon ^{\pi -\varepsilon}\{ u'(t)^2-u(t)^2\} dt \\ &\geqq \frac{1}{2}\{ u'_-(\pi )^2\sin 2\pi -u'_+(0) ^2\sin 0\} = 0 \end{align*} が成り立つ. 等号が成り立つのは, $0 < t < \pi$ において \[ v'(t)^2\sin ^2t = 0\] つまり $v'(t) = 0$ が成り立つときであり, このとき, ある定数 $a$ について
$v(t) = a$ つまり $u(t) = a\sin t$
となる.
(3)
(2) の $u(t)$ を $y(t)$ に置き換えると, \begin{align*} 0 &\leqq \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\left\{ y'(t)^2-y(t)^2\right\} dt \\ &= \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\left\{ 1-x'(t)^2-y(t)^2\right\} dt \\ &= \pi -\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\left\{ x'(t)^2+y(t)^2\right\} dt \end{align*} となる. よって, \begin{align*} \pi -2S &\geqq \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\left\{ x'(t)^2+y(t)^2\right\} dt \\ &\qquad -2\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}y(t)x'(t)dt \\ &= \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\{ x'(t)^2+y(t)^2-2x'(t)y(t)\} dt \\ &= \lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{\pi -\varepsilon}\{ x'(t)-y(t)\} ^2dt \geqq 0 \end{align*} であるから, $2S \leqq \pi$ が成り立つ. また, 等号が成り立つのは, \[ x'(t) = y(t) = a\sin t\] ($a$ は定数)のとき. このとき, $x(0) = 0$ から, $x(t) = a(1-\cos t)$ である. さらに, $x'(t)^2+y'(t)^2 = 1$ から, $a = 1$ である. ゆえに, 等号が成り立つときの $C$ は \[ x = 1-\cos t, \quad y = \sin t \quad (0 \leqq t \leqq \pi)\] と表される.

背景

 本問の結果から, 周の長さが $L$ の曲線と直線で囲まれる図形の面積 $S$ について, $S \leqq \dfrac{L^2}{2\pi}$ であることがわかる(等号成立は半円の場合). さらに, 周の長さが $L$ の曲線で囲まれた図形の面積 $S$ について, 周の長さを $2$ 等分する直線によって分けられた部分の面積が $\left(\dfrac{L}{2}\right) ^2\div 2\pi$ 以下であることから, \[ S \leqq \dfrac{L^2}{4\pi}\] の成り立つことがわかる(等号成立は円の場合). この不等式は,「等周不等式」と呼ばれる.