COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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広義積分

問題

ガンマ関数

問題≪ガンマ関数≫

 $n$ を正の整数とする.
(1)
$x > 0$ のとき, $e^x > \dfrac{x^n}{n!}$ であることを示せ.
(2)
$\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ が成り立つことを示せ.
(3)
極限 $\mathit\Gamma (n) = \displaystyle\lim\limits_{G \to \infty}\int_0^Gt^{n-1}e^{-t}dt$ を求めよ.
[大分大*]

解答例

(1)
$f_n(x) = e^x-\dfrac{x^n}{n!}\ (x > 0)$ とおく. $f_n(x) > 0$ が成り立つことを帰納法で示す.
(i)
$f_1(x) = e^x-x$ であり, $f_1'(x) = e^x-1 > 0\ (x > 0)$ であるから, $f_1(x) > f_1(0) = 0$ が成り立つ.
(ii)
与えられた正の整数 $n$ に対して, $f_n(x) > 0$ が成り立つとすると, $f_{n+1}(x) = e^x-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ から \[ f_{n+1}'(x) = e^x-\frac{x^n}{n!} = f_n(x) > 0\] となり, $f_{n+1}(x) > f_{n+1}(0) = 0$ となる.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $f_n(x) > 0$ つまり $e^x > \dfrac{x^n}{n!}$ が成り立つ.
(2)
(1) から $e^x > \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ であるので, \[ 0 < \frac{x^n}{e^x} < \frac{(n+1)!}{x}\] が成り立つ. $x \to \infty$ のとき右辺は $0$ に収束するから, 挟みうちの原理により, $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x} = 0$ が成り立つ.
(3)
正の数 $G$ に対して $\mathit\Gamma _G(n) = \displaystyle\int_0^Gt^{n-1}e^{-t}dt$ とおく. $n \geqq 2$ のとき, \begin{align*} \mathit\Gamma _G(n) &= \int_0^Gt^{n-1}(-e^{-t})'dt \\ &= [t^{n-1}(-e^{-t})]_0^G-\int_0^G(n-1)t^{n-2}(-e^{-t})dt \\ &= -G^{n-1}e^{-G}+(n-1)\mathit\Gamma _G(n-1) \end{align*} であるから, $G \to \infty$ のときの極限をとると \[\mathit\Gamma (n) = (n-1)\mathit\Gamma (n-1)\] が得られる. また, \begin{align*} \mathit\Gamma (1) &= \lim\limits_{G \to \infty}\int_0^Ge^{-t}dt = \lim\limits_{G \to \infty}[-e^{-t}]_0^G \\ &= \lim\limits_{G \to \infty}(1-e^{-G}) = 1 \end{align*} であるから, $n \geqq 2$ のとき \[\mathit\Gamma (n) = (n-1)\cdots 2\mathit\Gamma (1) = (n-1)!\] が成り立つ. これは $n = 1$ のときも成り立つので, すべての正の整数 $n$ に対して $\mathit\Gamma (n) = (n-1)!$ である.

ベータ関数

 定積分 $B(x,y) = \displaystyle\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ で定まる $x,$ $y$ の関数を「ベータ関数」という. その値 $B(x,y)$ は, $x < 1$ または $y < 1$ のとき「広義積分」になるが, $x \geqq 1,$ $y \geqq 1$ のとき単なる定積分である. 次の問題では, $p,$ $q$ が正の整数の場合に $B(p,q)$ を求める. この場合には, $B(p,q)$ は面積の計算でおなじみの定積分
$\displaystyle\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(x-\beta )^ndx$ ($m,$ $n$: 非負整数)
と密接な関係がある.

問題≪ベータ関数と面積≫

 $\alpha,$ $\beta$ を $\alpha < \beta$ なる実数とし, 非負整数 $m,$ $n$ の各組に対して \[ I(m,n) = \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^ndx\] と定める. また, $p,$ $q$ を正の整数とする.
(1)
$I(m,0)$ を求めよ.
(2)
$n \geqq 1$ のとき, $I(m,n) = \dfrac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ.
(3)
$I(m,n)$ を求めよ.
(4)
$B(p,q) = \displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ を求めよ.
(5)
第 $1$ 象限内の曲線 $x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1$ と座標軸で囲まれた図形の面積 $S(p,q)$ を求めよ.
[高知大*, 東京工業大*]

解答例

(1)
\begin{align*} I(m,0) &= \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m = \left[\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}\right] _\alpha ^\beta \\ &= \frac{(\beta -\alpha )^{m+1}}{m+1} \quad \cdots [1] \end{align*} である.
(2)
$n \geqq 1$ のとき, \begin{align*} I(m,n) &= \int_\alpha ^\beta\left\{\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{n+1}\right\} '(\beta -x)^ndx \\ &= \left[\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}(\beta -x)^n\right] _\alpha ^\beta \\ &\qquad -\int_\alpha ^\beta\frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1}n(\beta -x)^{n-1}(-1)dx \\ &= \frac{n}{m+1}\int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^{m+1}(\beta -x)^{n-1}dx \\ &= \frac{n}{m+1}I(m+1,n-1) \quad \cdots [2] \end{align*} が成り立つ.
(3)
$[1],$ $[2]$ から, \begin{align*} I(m,n) &= \frac{n}{m+1}\cdots \frac{1}{m+n}I(m+n,0) \quad (\because [2]) \\ &= \frac{m!n!}{(m+n)!}\cdot\frac{(\beta -\alpha )^{m+n+1}}{m+n+1} \quad (\because [1]) \\ &= \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha )^{m+n+1} \quad \cdots [3] \end{align*} が成り立つ.
(4)
$\alpha = 0,$ $\beta = 1$ の場合を考えると, $[3]$ から \[ B(p,q) = I(p-1,q-1) = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} \quad \cdots [4]\] が得られる.
(5)
$x^{\frac{1}{p}}+x^{\frac{1}{q}} = 1$ のとき, $y = (1-x^{\frac{1}{p}})^q$ から \[ S(p,q) = \int_0^1(1-x^{\frac{1}{p}})^qdx\] である. $t = x^{\frac{1}{p}}$ と置換すると, $[4]$ から \begin{align*} S(p,q) &= \int_0^1(1-t)^qpt^{p-1}dt = p\cdot B(p,q+1) \\ &= p\frac{(p-1)!q!}{(p+q)!} = \frac{p!q!}{(p+q)!} \end{align*} が得られる.

別解

(4)
$I(p-1,q-1)$ において $t = \dfrac{x-\alpha}{\beta -\alpha}$ と置換すると \begin{align*} &I(p-1,q-1) \\ &= \displaystyle\int_0^1\{ (\beta -\alpha )t\} ^{p-1}\{ (\beta -\alpha )(1-t)\} ^{q-1}(\beta -\alpha )dt \\ &= (\beta -\alpha )^{p+q-1}B(p,q) \end{align*} となるので, $[3]$ から \[ B(p,q) = \frac{I(p-1,q-1)}{(\beta -\alpha )^{p+q-1}} = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\] が得られる.

問題≪広義積分になるベータ関数の値≫

 $\displaystyle\lim\limits_{a \to +0}\lim\limits_{b \to 1-0}\int_a^b\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$ の値を求めよ.

解答例

\begin{align*} &\lim\limits_{a \to +0}\lim\limits_{b \to 1-0}\int_a^b\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}} \\ &= \lim\limits_{\alpha \to +0}\lim\limits_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0}\int_\alpha ^\beta\frac{2\sin\theta\cos\theta d\theta}{\sin\theta\sqrt{1-\sin ^2\theta}} \quad (\sqrt t = \sin\theta ) \\ &= \lim\limits_{\alpha \to +0}\lim\limits_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0}2\int_\alpha ^\beta d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta = \pi \end{align*}

ガウス積分

補足≪ガウス積分の計算方法≫

 正規分布の確率密度関数は
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}e^{-(x-\mu )^2/2\sigma ^2}$ ($\mu$: 期待値, $\sigma ^2$: 分散)
であり, 指数関数の部分の係数は「ガウス積分」と呼ばれる「広義積分」$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \lim\limits_{G \to \infty}\int_{-G}^Ge^{-x^2}dx$ の値をもとに決定される. これは,「ガンマ関数」を使って \[\lim\limits_{G \to \infty}2\int_0^Ge^{-x^2}dx = \lim\limits_{G \to \infty}2\int_0^Ge^{-u}\cdot\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}du = \mathit\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\] と表される. 前々問の結果により, 正の整数 $x,$ $y$ に対して \[ B(x,y) = \frac{\mathit\Gamma (x)\mathit\Gamma (y)}{\mathit\Gamma (x+y)}\] が成り立つが, これはすべての実数 $x,$ $y$ に対して成り立つことが知られている. $x = y = \dfrac{1}{2}$ にこの公式を適用すると, \[ B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \frac{\mathit\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\mathit\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\mathit\Gamma (1)} = \mathit\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) ^2\] となる. 前問の結果により, $B\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) = \pi$ であるから, $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$ が成り立つ.
 次の問題では, $e^{-x^2}$ のグラフの回転体の体積を利用して「ガウス積分」の値を求める.

問題≪ガウス積分≫

 $xyz$ 空間において, 曲線 $z = e^{-x^2},$ $y = 0$ を $z$ 軸の周りに $1$ 回転することで得られる曲面 $z = e^{-x^2-y^2}$ と $xy$ 平面で囲まれた立体を $M$ とする.
(1)
$M$ と円柱 $x^2+y^2 \leqq t^2,$ $0 \leqq z \leqq 1$ の共通部分の体積 $V(t)$ を求めよ.
(2)
$M$ と正四角柱 $|x| \leqq t,$ $|y| \leqq t,$ $0 \leqq z \leqq 1$ の共通部分の体積 $W(t)$ を, $\displaystyle\int_{-t}^te^{-x^2}dx$ を用いて表せ.
(3)
(1), (2) の結果を使って \[\lim\limits_{t \to \infty}\int_{-t}^te^{-x^2}dx = \sqrt\pi\] が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
題意の立体を平面 $z = e^{-t^2}$ で $2$ つに切り分けて考える. $z = e^{-x^2}$ のとき, $x^2 = -\log z$ であるから, \begin{align*} V(t) &= \pi t^2e^{-t^2}+\pi\int _{e^{-t^2}}^1x^2dz \\ &= \pi t^2e^{-t^2}-\pi\int_{e^{-t^2}}^1\log zdz \\ &= \pi t^2e^{-t^2}-\pi\left[ z\log z\right] _{e^{-t^2}}^1+\pi\int _{e^{-t^2}}^1z\cdot\frac{1}{z}dz \\ &= \pi t^2e^{-t^2}+\pi e^{-t^2}\log e^{-t^2}+\pi (1-e^{-t^2}) \\ &= \pi (1-e^{-t^2}) \end{align*} である.
(2)
$M$ の $y$ 座標が $y$ である断面の面積 $S(y)$ は $S(y) = \displaystyle\int_{-t}^te^{-x^2-y^2}dx$ であるから, \begin{align*} W(t) &= \int_{-t}^tS(y)dy = \int_{-t}^t\left(\int_{-t}^te^{-x^2-y^2}dx\right) dy \\ &= \int_{-t}^t\left(\int_{-t}^te^{-x^2}e^{-y^2}dx\right) dy \\ &= \int_{-t}^te^{-y^2}\left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) dy \\ &= \left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right)\left(\int_{-t}^te^{-y^2}dy\right) \\ &= \left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) ^2 \end{align*} が成り立つ.
(3)
$M$ の体積は \[\lim\limits_{t \to \infty}V(t) = \lim\limits_{t \to \infty}W(t)\] であるから, \begin{align*} \lim\limits_{t \to \infty}\left(\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) ^2 &= \lim\limits_{t \to \infty}\pi (1-e^{-t^2}) \\ \left(\lim\limits_{t \to \infty}\int_{-t}^te^{-x^2}dx\right) ^2 &= \pi \\ \lim\limits_{t \to \infty}\int_{-t}^te^{-x^2}dx &= \sqrt\pi \end{align*} が成り立つ.