COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

数式を枠からはみ出さずに表示するためには, 画面を横に傾けてください(532 ピクセル以上推奨).

ベクトルの内積

コーシー=シュワルツの不等式

定理≪コーシー=シュワルツの不等式≫

 平面上, または空間のすべてのベクトル $\vec a,$ $\vec b$ に対して, \[|\vec a\cdot\vec b| \leqq |\vec a||\vec b|\] が成り立つ. 等号成立は, $\vec a,$ $\vec b$ の一方が他方の定数倍であるときに限る.

問題≪$3$ 点の最短ネットワーク問題≫

(1)
平面上の単位ベクトル $\overrightarrow{e_1},$ $\overrightarrow{e_2},$ $\overrightarrow{e_3}$ が $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3} = \vec 0$ を満たすとき, $\overrightarrow{e_1},$ $\overrightarrow{e_2},$ $\overrightarrow{e_3}$ の互いに成す角をそれぞれ求めよ.
(2)
すべての平面ベクトル $\vec a (\neq \vec 0),$ $\vec p$ に対して \[ |\vec a-\vec p| \geqq |\vec a|-\frac{\vec a}{|\vec a|}\cdot\vec p\] が成り立つことを示せ.
(3)
すべての内角が $120^\circ$ 未満の $\triangle\mathrm{ABC}$ において, 内部の点 $\mathrm P$ から各頂点までの距離の和 $L = |\overrightarrow{\mathrm{PA}}|+|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$ が最小になるとき, 点 $\mathrm P$ はどのような位置にあるか.
[2001 東北大*]

解答例

 こちらを参照.

ベクトルの垂直条件

定理≪ベクトルの垂直条件≫

 平面または空間において, $\vec 0$ でないベクトル $\vec a,$ $\vec b$ に対し, \[\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b = 0\] が成り立つ.

問題≪三角形の垂心とオイラー線≫

 $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm G,$ 外心を $\mathrm E$ とおく. 次のことを示せ.
(1)
$\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}} = \overrightarrow{\mathrm{EH}}$ を満たす点 $\mathrm H$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の垂心である.
(2)
$3$ 点 $\mathrm E,$ $\mathrm G,$ $\mathrm H$ はこの順に同一直線上にあり, $\mathrm{EG}:\mathrm{GH} = 1:2$ が成り立つ.

解答例

(1)
$\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}} = \overrightarrow{\mathrm{EH}}$ から, \[\overrightarrow{\mathrm{AH}} = \overrightarrow{\mathrm{EH}}-\overrightarrow{\mathrm{EA}} = \overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}\] が成り立つ. これと外心の条件 $|\overrightarrow{\mathrm{EA}}| = |\overrightarrow{\mathrm{EB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{EC}}|$ から \begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} &= (\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{EC}}-\overrightarrow{\mathrm{EB}}) \\ &= |\overrightarrow{\mathrm{EC}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{EB}}|^2 = 0 \end{align*} であるので, \[\mathrm{AH}\perp\mathrm{BC}\] が成り立つ. 同様に, $\mathrm{BH}\perp\mathrm{CA},$ $\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ が成り立つ.
よって, 点 $\mathrm H$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の垂心である.
(2)
\[\overrightarrow{\mathrm{EH}} = 3\cdot\frac{\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}}{3} = 3\overrightarrow{\mathrm{EG}}\] であるから, $3$ 点 $\mathrm E,$ $\mathrm G,$ $\mathrm H$ はこの順に同一直線上にあり, $\mathrm{EG}:\mathrm{GH} = 1:2$ が成り立つ.

三角形の面積

定理≪ベクトルによる三角形の面積の公式≫

 $\triangle\mathrm{OPQ}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (a,b),$ $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (c,d)$ であるとき, \begin{align*} \triangle\mathrm{OPQ} &= \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2-({\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}})^2} \\ &= \frac{1}{2}|ad-bc| \end{align*} が成り立つ.

問題≪格子正三角形の非存在≫

 次のことを示せ. ただし, $\sqrt 3$ が無理数であることは, 証明なしに用いてよい.
(1)
$\triangle\mathrm{OPQ}$ について, $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (a,\ b),$ $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (c,\ d)$ のとき, \[\triangle\mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}|ad-bc|\] が成り立つ.
(2)
すべての頂点の各座標が整数であるような正三角形は存在しない.

解答例

 こちらを参照.