COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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不等式の証明

不等式の証明

 不等式 $A \geqq B$ を示すには, $A-B \geqq 0$ を示すことがしばしば有効である.

問題≪$2$~$4$ 変数の相加・相乗平均の不等式≫

(1)
$x,$ $y \geqq 0$ のとき, $x+y \geqq 2\sqrt{xy}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(2)
$x,$ $y,$ $z,$ $w \geqq 0$ のとき, $x+y+z+w \geqq 4\sqrt[4]{xyzw}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(3)
(2) において, $w = \dfrac{x+y+z}{3}$ とすることにより, $x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.

解答例

(1)
\[ (x+y)-2\sqrt{\mathstrut xy} = (\sqrt{\mathstrut x}-\sqrt{\mathstrut y})^2 \geqq 0\] から, $x+y \geqq 2\sqrt{\mathstrut xy}$ が成り立つ. 等号成立は, $\sqrt{\mathstrut x} = \sqrt{\mathstrut y}$ のとき, つまり $x = y$ のときに限る.
(2)
(1) の不等式から \begin{align*} \frac{x+y+z+w}{4} &= \frac{\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{z+w}{2}}{2} \geqq \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{zw}}{2} \\ &\geqq \sqrt{\sqrt{xy}\sqrt{zw}} \\ &= \sqrt[4]{xyzw} \end{align*} であるので, $x+y+z+w \geqq 4\sqrt[4]{xyzw}$ が成り立つ. 等号成立は,「$x = y$ かつ $z = w$」かつ $\sqrt{xy} = \sqrt{zw}$ のとき, つまり $x = y = z = w$ のときに限る.
(3)
(2) において $w = \dfrac{x+y+z}{3}$ とすると, \begin{align*} &3w+w \geqq 4\sqrt[4]{xyzw} \iff w \geqq \sqrt[4]{xyzw} \\ &\iff w^4 \geqq xyzw \iff w^3 \geqq xyz \\ &\iff w \geqq \sqrt[3]{xyz} \iff x+y+z \geqq 3\sqrt[3]{xyz} \end{align*} となり, 求める不等式が得られる. また, 等号成立は $x = y = z = w$ つまり $x = y = z$ のときに限る.

背景

 $2$ 以上の整数 $n,$ 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して \[\frac{x_1+\cdots +x_n}{n} \geqq \sqrt[n]{\mathstrut x_1\cdots x_n} \geqq \frac{n}{x_1{}^{-1}+\cdots +x_n{}^{-1}}\] が成り立ち, 等号成立は $x_1 = \cdots = x_n$ の場合に限ることが知られている. 左辺を相加平均(arithmetic mean), 中辺を相乗平均(geometric mean), 右辺を調和平均(harmonic mean)と呼ぶ. 証明は, こちらを参照.
 $A \geqq 0,$ $B \geqq 0$ であるとき, 不等式 $A \geqq B$ を示すには, $A^2 \geqq B^2$ を示すことがしばしば有効である.

問題≪三角不等式と方程式の解の評価≫

(1)
すべての実数 $x,$ $y$ に対して, $|x+y| \leqq |x|+|y|$ が成り立つことを示せ.
(2)
$a,$ $b,$ $c$ を実数とし, その絶対値の最大値を $M$ とおく. 方程式 $x^3+ax^2+bx+c = 0$ が実数解 $\alpha$ をもつとき, $|\alpha | \leqq M+1$ が成り立つことを背理法で示せ.

解答例

(1)
\begin{align*} &(|x|+|y|)^2-|x+y|^2 \\ &= (|x|^2+2|x||y|+|y|^2)-(x+y)^2 \\ &= (x^2+2|xy|+y^2)-(x^2+2xy+y^2) \\ &= 2(|xy|-xy) \geqq 0 \end{align*} から $|x+y|^2 \leqq (|x|+|y|)^2$ が成り立つので, $|x|+|y| \geqq 0,$ $|x+y| \geqq 0$ に注意すると \[ |x+y| \leqq |x|+|y|\] が得られる.
(2)
$x^3+ax^2+bx+c = 0$ が実数解 $\alpha$ をもつとする.
(i)
$\alpha = 0$ のとき. $M \geqq 0$ から, $|\alpha | = 0 < M+1$ が成り立つ.
(ii)
$\alpha \neq 0$ のとき. \[\alpha ^3+a\alpha ^2+b\alpha +c = 0\] から, \[ \alpha +a+\frac{b}{\alpha}+\frac{c}{\alpha ^2} = 0\] が成り立つ. 仮に $|\alpha | > M+1$ が成り立つとすると, \[\frac{1}{|\alpha |} < \frac{1}{M+1} \quad \cdots [\ast ]\] となるから, \begin{align*} &|\alpha | = \left| a+\frac{b}{\alpha}+\frac{c}{\alpha ^2}\right| \\ &\leqq |a|+\left|\frac{b}{\alpha}+\frac{c}{\alpha ^2}\right| \quad (\because (1)) \\ &\leqq |a|+\left|\frac{b}{\alpha}\right| +\left|\frac{c}{\alpha ^2}\right| \quad (\because (1)) \\ &= |a|+\frac{|b|}{|\alpha |}+\frac{|c|}{|\alpha |^2} \\ &\leqq M\left( 1+\frac{1}{|\alpha |}+\frac{1}{|\alpha |^2}\right)\ (\because |a|, |b|, |c| \leqq M) \\ &< M\left( 1+\frac{1}{M+1}+\frac{1}{(M+1)^2}\right) \quad (\because [\ast ]) \\ &= \frac{M^3+3M^2+3M}{(M+1)^2} \\ &< \frac{(M\!+\!1)^3}{(M\!+\!1)^2}\ (\because M^3\!+\!3M^2\!+\!3M \!<\! (M\!+\!1)^3) \\ &= M+1 \end{align*} となって, 矛盾が生じる.
(i), (ii) から, すべての場合に $|\alpha | \leqq M+1$ が成り立つ.