COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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積分法の総合問題(数学 III)

総合問題

問題≪ベータ関数と面積≫

 $\alpha,$ $\beta$ を $\alpha < \beta$ なる実数とし, 非負整数 $m,$ $n$ の各組に対して \[ I(m,n) = \int_\alpha ^\beta (x-\alpha )^m(\beta -x)^ndx\] と定める. また, $p,$ $q$ を正の整数とする.
(1)
$I(m,0)$ を求めよ.
(2)
$n \geqq 1$ のとき, $I(m,n) = \dfrac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ.
(3)
$I(m,n)$ を求めよ.
(4)
$B(p,q) = \displaystyle\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$ を求めよ.
(5)
曲線 $x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}} = 1\ (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$ と座標軸で囲まれた図形の面積 $S(p,q)$ を求めよ.
[高知大*, 東京工業大*]

解答例

 こちらを参照.