COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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積分法(数学 III)

不定積分

定理≪三角関数の不定積分≫

\begin{align*} \int\cos xdx &= \sin x+C, \\ \int\sin xdx &= -\cos x+C \end{align*} ($C$: 積分定数)が成り立つ.

定積分

定理≪微分積分学の基本定理≫

 $a,$ $b$ を実数とする.
(1)
$a$ を含む区間 $I$ で定義された連続関数 $f(x)$ に対して, 区間 $I$ の端点を除く部分で \[\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt = f(x)\] が成り立つ.
(2)
関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ を含む区間で微分可能なとき, \[\int_a^bf'(x)dx = f(b)-f(a)\] が成り立つ.
(3)
関数 $f(x)$ の不定積分が $F(x)$ であるとき, \[\int_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)\] が成り立つ.

問題≪三角関数の直交性≫

(1)
$m,$ $n$ を相異なる整数とする. 定積分
(A)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx$ 
(B)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx$ 
(C)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx$ 
の値を求めよ.
(2)
\[ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k = 1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\] であるとき, 非負整数 $k$ に対して \begin{align*} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{align*} が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
(A)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.
(B)
\begin{align*} \sin m(-x)\cos n(-x) &= (-\sin mx)\cos nx \\ &= -\sin mx\cos nx \end{align*} から $\sin mx\cos nx$ は奇関数であるので, \[\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx = 0\] である.
(C)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m-n)x}{m-n}-\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.
(2)
\begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\cos kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\cos kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\sin kxdx\!\right) \\ &= a_k\pi, \\ &\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\sin kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\sin kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\sin jx\sin kxdx\!\right) \\ &= b_k\pi \end{align*} から, \begin{align*} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{align*} が成り立つ.

背景

  • 解析学において, 関数をベクトルのように扱って, 連続関数 $f(x),$ $g(x)$ $(a \leqq x \leqq b)$ の「内積」$\langle f,g\rangle$ を定積分 \[\langle f,g\rangle = \int_a^bf(x)g(x)dx\] で定義することがある.
  • この内積が $0$ になるという意味で, 三角関数 $\cos mx,$ $\cos nx,$ $\sin mx,$ $\sin nx$ $\left( -\pi \leqq x \leqq \pi,\right.$ $\left.m \neq n\right)$ は互いに「直交」している. この結果は「フーリエ解析」(Fourier analysis)と呼ばれる理論で重要な役割を果たす. 「フーリエ解析」では, 関数 $f(x)$ を \[ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 0}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\] の形に「フーリエ級数展開」して(多くの関数で可能), その挙動を調べる.