COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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積分法(数学 III)

不定積分

定理≪三角関数の不定積分≫

\begin{align*} \int\cos xdx &= \sin x+C, \\ \int\sin xdx &= -\cos x+C \end{align*} ($C$: 積分定数)が成り立つ.

定積分

定理≪微分積分学の基本定理≫

 $a,$ $b$ を実数とする.
(1)
$a$ を含む区間 $I$ で定義された連続関数 $f(x)$ に対して, 区間 $I$ の端点を除く部分で \[\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt = f(x)\] が成り立つ.
(2)
関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ を含む区間で微分可能なとき, \[\int_a^bf'(x)dx = f(b)-f(a)\] が成り立つ.
(3)
関数 $f(x)$ の不定積分が $F(x)$ であるとき, \[\int_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)\] が成り立つ.

問題≪指数関数の微分方程式≫

 実数全体で微分可能であり, 正の数全体を値域とする実数値関数 $f(x)$ が \[ f'(x) = f(x), \quad f(0) = 1\] を満たすとする. このとき, $f'(x) = f(x) > 0$ であるから, $f(x)$ の逆関数 $g(x)$ が存在する.
(1)
$g'(x)$ を求めて, $g(x) = \displaystyle\int_1^x\dfrac{dt}{t}$ であることを示せ.
(2)
すべての正の数 $x_1,$ $x_2$ に対して $g(x_1x_2) = g(x_1)+g(x_2)$ が成り立つことを示せ.
(3)
すべての実数 $x_1,$ $x_2$ に対して $f(x_1+x_2) = f(x_1)f(x_2)$ が成り立つことを示せ.
(4)
$g'(1)$ の値から $f(1) = \lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}$ であることを示せ.

解答例

(1)
$y = f(x)$ とおくと, 逆関数の微分法と仮定から \[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'} = \frac{1}{y}\] となるので, \[ g'(x) = \dfrac{1}{x} \quad \cdots [1]\] である. また, $f(0) = 1$ から \[ g(1) = 0 \quad \cdots [2]\] であるので, \[ g(x) = g(x)-g(1) = \int_1^x\frac{dt}{t} \quad \cdots [3]\] が成り立つ.
(2)
$[3]$ から, すべての正の数 $x_1,$ $x_2$ に対して \begin{align*} g(x_1x_2) &= \int_1^{x_1x_2}\frac{dt}{t} = \int_1^{x_1}\frac{dt}{t}+\int_{x_1}^{x_1x_2}\frac{dt}{t} \\ &= g(x_1)+\int_1^{x_2}\frac{1}{x_1u}x_1du \quad (t = x_1u\text{ と置換}) \\ &= g(x_1)+g(x_2) \quad \cdots [4] \end{align*} が成り立つ.
(3)
$x_1,$ $x_2$ を実数として, $y_1 = f(x_1),$ $y_2 = f(x_2)$ とおく. このとき, $g(y_1) = x_1,$ $g(y_2) = x_2$ となるので, $[4]$ から, \begin{align*} f(x_1+x_2) &= f(g(y_1)+g(y_2)) = f(g(y_1y_2)) \\ &= y_1y_2 = f(x_1)f(x_2) \end{align*} が成り立つ.
(4)
$[1],$ $[2]$ から, \[ 1 = g'(1) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h}g(1+h)\] が成り立つ. よって, \begin{align*} 1 &= \lim\limits_{n \to \infty}ng\left( 1+\frac{1}{n}\right) \quad \left(\because n \to \infty\text{ のとき }\frac{1}{n} \to 0\right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}g\left(\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\right) \quad (\because [4]) \\ &= g\left(\lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\right) \quad (\because g(x)\text{ は連続}) \end{align*} であるから, $f(1) = \lim\limits_{n \to \infty}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n$ が成り立つ.

背景

  • $f'(x) = f(x)$ のように, 導関数を含み, 関数を解とする方程式を「微分方程式」(differential equation)と呼ぶ.
  • 解析学の教科書では, 指数関数 $f(x) = e^x$ を「微分方程式」$f'(x) = f(x),$ $f(0) = 1$ の解として定義することも多い.

問題≪三角関数の直交性≫

 $m,$ $n$ を相異なる整数とする. 定積分
(A)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx$ 
(B)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx$ 
(C)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx$ 
の値を求めよ.

解答例

(A)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.
(B)
\begin{align*} \sin m(-x)\cos n(-x) &= (-\sin mx)\cos nx \\ &= -\sin mx\cos nx \end{align*} から $\sin mx\cos nx$ は奇関数であるので, \[\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx = 0\] である.
(C)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m-n)x}{m-n}-\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.

背景

  • 解析学において, 関数をベクトルのように扱って, 連続関数 $f(x),$ $g(x)$ $(a \leqq x \leqq b)$ の「内積」$\langle f,g\rangle$ を定積分 \[\langle f,g\rangle = \int_a^bf(x)g(x)dx\] で定義することがある.
  • この内積が $0$ になるという意味で, 三角関数 $\cos mx,$ $\cos nx,$ $\sin mx,$ $\sin nx$ $\left( -\pi \leqq x \leqq \pi,\right.$ $\left.m \neq n\right)$ は互いに「直交」している. この結果は「フーリエ解析」(Fourier analysis)と呼ばれる理論で重要な役割を果たす.

問題≪ウォリスの公式≫

 各非負整数 $n$ に対して \[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^nxdx\] と定め, 数列 $\{ n!!\}$ を \[ 1!! = 1, \quad 2!! = 2, \quad n!! = n\cdot (n-2)!!\ (n \geqq 3)\] で定める.
(1)
等式 \[ I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^nxdx \quad \cdots [1]\] が成り立つことを示せ.
(2)
$n \geqq 2$ のとき, \[ I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2} \quad \cdots [2]\] が成り立つことを示せ.
(3)
$n \geqq 1$ のとき, \[ I_n = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} & \!\!(n\text{: 奇数}), \\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2} & \!\!(n\text{: 偶数}) \end{cases} \quad \cdots [3]\] が成り立つことを示せ.
(4)
$I_{2n} < I_{2n-1}\ \cdots [4]$ が成り立つことを示せ.
(5)
$\dfrac{{}_{2n}\mathrm C_n}{2^{2n}} < \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}\ \cdots [5]$ が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
$t = \dfrac{\pi}{2}-x$ とおくと, \begin{align*} I_n &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0\cos ^n\left(\frac{\pi}{2}-t\right)(-1)dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^nxdx \quad \cdots [1] \end{align*} となる.
(2)
部分積分を行うと, \begin{align*} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n-1}x\cos xdx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n-1}x(\sin x)'dx \\ &= \big[\cos ^{n-1}x\sin x\big] _0^{\frac{\pi}{2}} \\ &\qquad -\int_0^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\cos ^{n-2}x(-\sin x)\sin xdx \\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n-2}x(1-\cos ^2x)dx \\ &= (n-1)\!\int_0^{\frac{\pi}{2}}\!\cos ^{n-2}xdx-(n-1)\!\int_0^{\frac{\pi}{2}}\!\cos ^nxdx \\ &= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n \end{align*} となる. よって, $nI_n = (n-1)I_{n-2}$ から, \[ I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2} \quad \cdots [2]\] が得られる.
(3)
\begin{align*} I_0 &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}dx = \frac{\pi}{2}, \\ I_1 &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx = \big[\sin x\big] _0^{\frac{\pi}{2}} = 1 \end{align*} であるので, $[2]$ から求める等式 $[3]$ が得られる.
(4)
$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $0 \leqq \sin x \leqq 1$ から $\sin ^{2n}x \leqq \sin ^{2n-1}x$ であり, 等号成立は $x = 0,$ $\dfrac{\pi}{2}$ のときに限るから, \[\int_0^{2\pi}\sin ^{2n}dx < \int_0^{2\pi}\sin ^{2n-1}dx,\] つまり $[4]$ が成り立つ.
(5)
$[3],$ $[4]$ から \[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\] が成り立つので, 両辺を $\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ で割ると \begin{align*} \frac{\pi}{2} &< \frac{(2n-2)!!(2n)!!}{\{ (2n-1)!!\} ^2} \\ &= \frac{1}{2n}\left\{\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right\} ^2 \\ &= \frac{1}{2n}\left\{\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\cdot\frac{(2n)!!}{(2n)!!}\right\} ^2 \\ &= \frac{1}{2n}\left\{\frac{2^nn!\cdot 2^nn!}{(2n)!!}\right\} ^2 \\ &= \frac{1}{2n}\left(\frac{2^{2n}}{{}_{2n}\mathrm C_n}\right) ^2 \end{align*} が得られる. よって,
$n\pi < \left(\dfrac{2^{2n}}{{}_{2n}\mathrm C_n}\right) ^2$ つまり $\sqrt{n\pi} < \dfrac{2^{2n}}{{}_{2n}\mathrm C_n}$
から, $[5]$ が成り立つ.

背景

  • 本問で示した等式 $[3]$ は「ウォリスの公式」(Wallis formula)と呼ばれる.
  • (5) の結果は「ランダム・ウォーク」(random walk)の問題を解く際に利用される(こちらを参照).
  • (5) と同様にして, $I_{2n} < I_{2n-2}$ から \[\frac{1}{2n}\left(\frac{2^{2n}}{{}_{2n}\mathrm C_n}\right) ^2 < \frac{\pi}{2}\cdot\frac{2n}{2n-1}\] も得られるので, 挟みうちの原理により \[\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{2n}\left(\frac{2^{2n}}{{}_{2n}\mathrm C_n}\right) ^2 = \frac{\pi}{2}\] が成り立つ. これも「ウォリスの公式」と呼ばれる.
  • 「ウォリスの公式」から「スターリングの公式」(Stirling's formula)などの多くの重要な定理が導かれる.