COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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積分法(数学 III)

不定積分

定理≪三角関数の不定積分≫

\begin{align*} \int\cos xdx &= \sin x+C, \\ \int\sin xdx &= -\cos x+C \end{align*} ($C$: 積分定数)が成り立つ.

定積分

問題≪三角関数の直交性≫

 $m,$ $n$ を相異なる整数とする. 定積分
(A)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx,$ 
(B)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx,$ 
(C)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx$ 
の値を求めよ.

解答例

(A)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.
(B)
\begin{align*} \sin m(-x)\cos n(-x) &= (-\sin mx)\cos nx \\ &= -\sin mx\cos nx \end{align*} から $\sin mx\cos nx$ は奇関数であるので, \[\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx = 0\] である.
(C)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m-n)x}{m-n}-\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.