COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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積分法(数学 II)

定積分

問題≪ルジャンドル多項式≫

 実数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ は, すべての $1$ 次関数または定数関数 $f(x)$ に対して \[\int_{-1}^1(x-\alpha )(x-\beta )f(x)dx = 0\] を満たす.
(1)
$\alpha,$ $\beta$ の値を求めよ.
(2)
すべての $3$ 次関数 $g(x)$ に対して \[\int_{-1}^1g(x)dx = g(\alpha )+g(\beta )\] が成り立つことを示せ.
[名古屋大*]

解答例

(1)
$f(x) = ax+b$ ($a,$ $b$: 定数)を任意の $1$ 次関数または定数関数とする. このとき, \begin{align*} 0 &=\int_{-1}^1(x-\alpha )(x-\beta )f(x)dx \\ &= \int_{-1}^1\{ x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha\beta \}(ax+b)dx \\ &= 2\int_0^1\left[\{ b-a(\alpha +\beta )\}x^2+\alpha\beta b\right] dx \\ &= 2\left[\frac{b-a(\alpha +\beta )}{3}x^3+\alpha\beta bx\right] _0^1 \\ &= 2\left\{\frac{b-a(\alpha +\beta )}{3}+\alpha\beta b\right\} \\ &= -\frac{2}{3}(\alpha +\beta )a+2\left(\alpha\beta +\frac{1}{3}\right) b \end{align*} は $a,$ $b$ に関する恒等式となるから, \[\alpha +\beta = 0, \quad \alpha\beta = -\frac{1}{3}\] が成り立つ. よって, $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ は $x^2-\dfrac{1}{3} = 0$ の実数解であるから, \[\alpha = \frac{\sqrt 3}{3}, \quad \beta = -\frac{\sqrt 3}{3}\] である.
(2)
$g(x)$ を任意の $3$ 次関数とする. これを多項式とみたときに, $g(x)$ を $x^2-\dfrac{1}{3}$ で割った商を $q(x),$ 余りを $r(x)$ とおく. このとき, \[ g(x) = \left( x^2-\frac{1}{3}\right) q(x)+r(x)\] となり, $q(x)$ は $1$ 次式となるから, (1) の結果により, \begin{align*} &\int_{-1}^1g(x)dx \\ &= \int_{-1}^1\left( x^2-\frac{1}{3}\right) q(x)dx+\int_{-1}^1r(x)dx \\ &= 2\big[ r(0)x\big] _{-1}^1 = 2r(0) \\ &= r(\alpha )+r(\beta ) = g(\alpha )+g(\beta ) \end{align*} が得られる. 最後から $2$ 番目の等号は, 直線 $y = r(x)$ 上の $2$ 点 $(\alpha,r(\alpha )),$ $(\beta,r(\beta ))$ が $y$ 切片 $(0,r(0))$ に関して対称であることから従う.

背景

  • \[\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n), \\ \dfrac{2}{2n+1} & (m = n) \end{cases}\] を満たす多項式 $P_n(x)$ ($n$: 非負整数)を「ルジャンドル多項式」(Legendre polynomial)と呼ぶ. \begin{align*} &P_0(x) = 1,\ P_1(x) = x,\ P_2(x) = \frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}, \\ &P_3(x) = \frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x,\ P_4(x) = \frac{35}{8}x^4-\frac{15}{4}x^2+\frac{3}{8},\ \cdots \end{align*} である.
  • $P_n(x)$ は $n$ 次多項式であり, すべての多項式は「ルジャンドル多項式」の定数倍の和として表せるから, $n-1$ 次以下のすべての多項式 $f(x)$ に対して \[\int_{-1}^1f(x)P_n(x) = 0\] が成り立つ. 本問では, $\dfrac{2}{3}P_2(x)$ を求めた.
  • 「ルジャンドル多項式」は物理学でさまざまな応用がある.