COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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積分

理論

定積分

定理≪微積分学の基本定理≫

 任意の実数 $a,$ 多項式関数 $f(x)$ に対して \[\frac{d}{dx}\int _a^xf(t)dt = f(x)\] が成り立つ.

注意

 この定理は, 任意の連続関数(数学 III) $f(x),$ 例えば多項式関数, 指数関数, 正弦関数やそれらの合成, 絶対値に対して成り立つ.

定義≪偶関数・奇関数≫

 原点対称な定義域 $D$ を持つ実数値関数 $f(x)$ について, $D$ において $f(-x) = f(x)$ が成り立つとき $f(x)$ を偶関数(even function)と呼び, $f(-x) = -f(x)$ が成り立つとき $f(x)$ を奇関数(odd function)と呼ぶ.

定理≪偶関数・奇関数≫

(a)
原点対称な定義域 $D$ を持つ任意の実数値関数 $f(x)$ は, 偶関数 $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ と奇関数 $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ の和として一意的に表される.
(b)
偶関数どうしの和と差は偶関数であり, 奇関数どうしの和と差は奇関数である.
(c)
偶関数どうしまたは奇関数どうしの積と商は偶関数であり, 偶関数と奇関数の積と商は奇関数である.

例≪偶関数・奇関数≫

 $x^n$ は, $n$ が偶数のとき偶関数であり, $n$ が奇数のとき奇関数である. 多項式関数は, 偶数次の部分(偶関数)と奇数次の部分(奇関数)の和として表せる.

定理≪偶関数・奇関数の定積分≫

(a)
$f(x)$ が $[-a,\ a]$ で定義された偶関数であるとき, \[\int_{-a}^af(x)dx = 2\int_0^af(x)dx.\]
(b)
$f(x)$ が $[-a,\ a]$ で定義された奇関数であるとき, \[\int_{-a}^af(x)dx = 0.\]

不定積分

問題

不定積分

定積分

問題≪定積分の値による $2$ 次関数の決定≫

 $2$ 次関数 $f(x)$ が $\displaystyle\int _{-1}^1f(x)dx = \displaystyle\int _{-1}^1xf(x)dx = \displaystyle\int _{-1}^1x^2f(x)dx = 4$ を満たすとき,
(1)
$f(x)$ を求めよ.
(2)
$\displaystyle\int _{-1}^1f(x)^2dx$ の値を求めよ.

解答例

(1)
$f(x) = ax^2+bx+c$ ($a,$ $b,$ $c$: 定数)とおく. このとき, \begin{align*} 4 &= \int _{-1}^1f(x)dx = \int _{-1}^1(ax^2+bx+c)dx \\ &= 2\int _0^1(ax^2+c)dx = 2\left[\frac{ax^3}{3}+cx\right] _0^1 \\ &= 2\left(\frac{a}{3}+c\right) \quad \cdots [1], \\ 4 &= \int _{-1}^1xf(x)dx = \int _{-1}^1(ax^3+bx^2+cx)dx \\ &= 2\int _0^1bx^2dx = 2\left[\frac{bx^3}{3}\right] _0^1 \\ &= \frac{2b}{3} \quad \cdots [2], \\ 4 &= \int _{-1}^1x^2f(x)dx = \int _{-1}^1(ax^4+bx^3+cx^2)dx \\ &= 2\int _0^1(ax^4+cx^2)dx = 2\left[\frac{ax^5}{5}+\frac{cx^3}{3}\right] _0^1 \\ &= 2\left(\frac{a}{5}+\frac{c}{3}\right) \quad \cdots [3]. \end{align*} $[1],$ $[2],$ $[3]$ を解くと, \[ a = 15, \quad b = 6,\ \quad c = -3.\] ゆえに, \[ f(x) = 15x^2+6x-3.\]
(2)
(1) の結果と与式より, \begin{align*} &\int _{-1}^1f(x)^2dx = \int _{-1}^1(15x^2+6x-3)f(x)dx \\ &= 15\!\int _{-1}^1\! x^2f(x)dx+6\!\int _{-1}^1\! xf(x)dx-3\!\int _{-1}^1\! f(x)dx \\ &= (15+6-3)4 = 72. \end{align*}

問題≪微積分学の基本定理による多項式関数の決定≫

 次の条件を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ.
(a)
$\displaystyle\int _a^xf(t)dt = x^2-1.$ 
(b)
$\displaystyle\int _1^xtf(t)dt = x^3-2x^2+a.$ 

解答例

(a)
与式の両辺を $x$ で微分すると, 微積分学の基本定理より, \[ f(x) = 2x.\] また, 与式の両辺に $x = a$ を代入すると \[ 0 = a^2-1\] となるから, \[ a = \pm 1.\]
(b)
与式の両辺を $x$ で微分すると微積分学の基本定理より \[ xf(x) = 3x^2-4x\] となるから, \[ f(x) = 3x-4.\] また, 与式の両辺に $x = 1$ を代入すると \[ 0 = 1-2+a\] となるから, \[ a = 1.\]

問題≪定積分を含む関数等式を満たす $1$ 次関数≫

 $f(x) = x+\displaystyle\int _0^1(x+t)f(t)dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ.

解答例

\[ a = \displaystyle\int _0^1f(t)dt \quad \cdots [1], \qquad b = \displaystyle\int _0^1tf(t)dt \quad \cdots [2]\] とおくと, \begin{align*} f(x) &= \left( 1+\int _0^1f(t)dt\right) x+\int _0^1tf(t)dt \\ &= (a+1)x+b \quad \cdots [3]. \end{align*} $[3]$ を $[1],$ $[2]$ に代入すると, \begin{align*} a &= \int _0^1\big( (a+1)t+b\big) dt = \left[\frac{a+1}{2}t^2+bt\right] _0^1 \\ &= \frac{a+1}{2}+b \quad \cdots [4], \\ b &= \int _0^1\big( (a+1)t^2+bt\big) dt = \left[\frac{a+1}{3}t^3+\frac{b}{2}t^2\right] _0^1 \\ &= \frac{a+1}{3}+\frac{b}{2} \quad \cdots [5]. \end{align*} $[4],$ $[5]$ を解くと, \[ a = -7, \quad b = -4.\] ゆえに, $[3]$ より, \[ f(x) = -6x-4.\]

問題≪定積分を含む連立関数等式を満たす $1$ 次関数≫

 $f(x) = x\displaystyle\int _0^1g(t)dt,$ $g(x) = 2x+\displaystyle\int _0^1f(t)dt$ を満たす関数 $f(x),$ $g(x)$ を求めよ.

解答例

\[ a = \int _0^1g(t)dt \quad \cdots [1], \quad b = \int _0^1f(t)dt \quad \cdots [2]\] とおくと, \[ f(x) = ax \quad \cdots [3], \qquad g(x) = 2x+b \quad \cdots [4].\] $[1],$ $[2]$ に $[3],$ $[4]$ を代入すると, \begin{align*} a &= \int _0^1(2t+b)dt = \big[ t^2+bt\big] _0^1 = b+1 \quad \cdots [5], \\ b &= \int _0^1atdt = \left[\frac{a}{2}t^2\right] _0^1 = \frac{a}{2} \quad \cdots [6]. \end{align*} $[5],$ $[6]$ を解くと, \[ a = 2, \quad b = 1.\] ゆえに, $[3],$ $[4]$ より, \[ f(x) = 2x, \quad g(x) = 2x+1.\]

問題≪定積分を含む関数等式を満たす多項式関数≫

 $4\displaystyle\int _a^xtf(t)dt = f(x)^2,$ $f(0) = 0$ を満たす多項式関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ. ただし, $f(x) \neq 0$ とする.

解答例

 $f(x)$ の次数を $n$ とおく. 与式の両辺の次数を比較すると, \[ (1+n)+1 = 2n\] より, \[ n = 2.\] $f(0) = 0$ に注意すると, $f(x) = px^2+qx = x(px+q)$ ($p,$ $q$: 定数, $p \neq 0$)とおける. このとき, \begin{align*} 4\int _a^xtf(t)dt &= \int _a^x(4pt^3+4qt^2)dt \\ &= \left[ pt^4+\frac{4q}{3}t^3\right] _a^x \\ &= px^4+\frac{4q}{3}x^3-pa^4-\frac{4q}{3}a^3 \quad \cdots [1], \\ f(x)^2 &= x^2(px+q)^2 \\ &= x^2(p^2x^2+2pqx+q^2) \\ &= p^2x^4+2pqx^3+q^2x^2 \quad \cdots [2]. \end{align*} 与式より, $[1],$ $[2]$ の両辺を比較すると, \begin{align*} &p = p^2 \quad \cdots [3], \qquad \frac{4q}{3} = 2pq \quad \cdots [4], \\ &-pa^4-\frac{4q}{3}a^3 = 0 \quad \cdots [5]. \end{align*} $[3]$ より $p(p-1) = 0$ だから, $p \neq 0$ に注意すると, \[ p = 1.\] $[4]$ より $\dfrac{4q}{3} = 2q$ だから, \[ q = 0.\] $[5]$ より $-a^4 = 0$ だから, \[ a = 0.\] ゆえに, \[ f(x) = x^2, \quad a = 0.\]

問題≪定積分で定まる関数の最小値≫

 関数 $f(x) = \displaystyle\int _0^1|t^2-xt|dt$ の最小値を求めよ.

解答例

 $g(t) = t^2-xt = t(x-t),$ $G(t) = \dfrac{t^3}{3}-\dfrac{xt^2}{2}$ とおく.
(i)
$x \leqq 0$ のとき. $0 \leqq t \leqq 1$ において \[ |g(t)| = g(t)\] だから, \begin{align*} f(x) &= \int _0^1g(t)dt = \big[ G(t)\big] _0^1 = G(1)-G(0) \\ &= \frac{1}{3}-\frac{x}{2}. \end{align*} よって, $f(x)$ は $x = 0$ のとき最小値 $\dfrac{1}{3}$ をとる.
(ii)
$0 < x < 1$ のとき. $0 \leqq t \leqq 1$ において \[ |g(t)| = \left\{\begin{array}{l} -g(t) & (0 \leqq t \leqq x), \\ g(t) & (x \leqq t \leqq 1) \end{array}\right.\] だから, \begin{align*} f(x) &= -\int _0^xg(t)dt+\int _x^1g(t)dt \\ &= -\big[ G(t)\big] _0^x+\big[ G(t)\big] _x^1 \\ &= -G(x) +G(0)+G(1)-G(x) \\ &= G(1)-2G(x) \\ &= \left(\frac{1}{3}-\frac{x}{2}\right) -2\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^3}{2}\right) \\ &= \frac{x^3}{3}-\frac{x}{2}+\frac{1}{3}. \end{align*} さらに, \[ f'(x) = x^2-\frac{1}{2} = \left( x+\frac{1}{\sqrt 2}\right)\left( x-\frac{1}{\sqrt 2}\right)\] より, $f(x)$ の増減表は次のようになる.
$x$$(0)$$\cdots$$\dfrac{1}{\sqrt 2}$$\cdots$$(1)$
$f'(x)$$-$$0$$+$
$f(x)$$\searrow$極小$\nearrow$
ゆえに, $f(x)$ は $x = \dfrac{1}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$ のとき最小値 \[ f\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right) = \frac{1}{6\sqrt 2}-\frac{1}{2\sqrt 2}+\frac{1}{3} = \frac{2-\sqrt 2}{6}\] をとる.
(iii)
$1 \leqq x$ のとき. $0 \leqq t \leqq 1$ において \[ |g(t)| = -g(t)\] だから, (i) と同様にして, \[ f(x) = -\int _0^1g(t)dt = \frac{x}{2}-\frac{1}{3}.\] よって, $f(x)$ は $x = 1$ のとき最小値 $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ をとる.
(i)~(iii) より, $\dfrac{2-\sqrt 2}{6} < \dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{3}$ に注意すると, $f(x)$ は $x = \dfrac{\sqrt 2}{2}$ のとき最小値 $\dfrac{2-\sqrt 2}{6}$ をとる.

問題≪$1$ 次関数に関する定積分の不等式≫

 任意の $1$ 次関数 $f(x) = ax+b$ に対して $\left(\displaystyle\int _0^1f(x)dx\right) ^2 \leqq \displaystyle\int _0^1f(x)^2dx$ が成り立つことを示せ.

解答例

\begin{align*} &\int _0^1f(x)^2dx-\left(\int _0^1f(x)dx\right) ^2 \\ &= \int _0^1(a^2x^2+2abx+b^2)dx-\left(\int _0^1(ax+b)dx\right) ^2 \\ &= \left[\frac{a^2x^3}{3}+abx^2+b^2x\right] _0^1-\left(\left[\frac{ax^2}{2}+bx\right] _0^1\right) ^2 \\ &= \left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right) -\left(\frac{a}{2}+b\right) ^2 \\ &= \left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right) -\left(\frac{a^2}{4}+ab+b^2\right) \\ &= \frac{a^2}{12} \geqq 0 \end{align*} より, \[\left(\int _0^1f(x)dx\right) ^2 \leqq \int _0^1f(x)^2dx.\]