COMPASS

真の理解のためのシンプルな数学のノート

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無理関数

無理関数

問題≪無理不等式と相加・相乗平均の不等式≫

 $a,$ $b$ を正の数とする.
(1)
$a < b$ のとき, 不等式 $\sqrt x > \dfrac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}(x-a)+\sqrt a$ を解け.
(2)
$\dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し, 等号成立条件を求めよ.

解答例

(1)
求める解は, 曲線 $y = \sqrt x$ が $2$ 点 $(a,\sqrt a),$ $(b,\sqrt b)$ を結ぶ直線 $y = \dfrac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}(x-a)+\sqrt a$ より上方にあるような $x$ の値の範囲 $a < x < b$ である.
(2)
(i)
$a < b$ のとき. $x = \dfrac{a+b}{2}$ のとき (1) の不等式の右辺は \begin{align*} &\frac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}\left(\frac{a+b}{2}-a\right) +\sqrt a \\ &= \frac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}\cdot\frac{b-a}{2}+\sqrt a = \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2} \end{align*} となるから, $\sqrt{\dfrac{a+b}{2}} > \dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{2}$ である. よって,
$\dfrac{a+b}{2} > \dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}$ つまり $\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$
が成り立つ.
(ii)
$b < a$ のとき. (i) で $a,$ $b$ を入れ替えると, $\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$ が得られる.
(iii)
$a = b$ のとき. $\dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab} = a$ が成り立つ.
(i)~(iii) から, $\dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$ が成り立ち, 等号成立は $a = b$ のときに限る.

別解

(1)
$x \geqq 0$ とする. $x-a = (\sqrt x+\sqrt a)(\sqrt x-\sqrt a)$ であるから, 与式は \[ (\sqrt x\!+\!\sqrt a)(\sqrt x\!-\!\sqrt a) \!<\! (\sqrt a\!+\!\sqrt b)(\sqrt x\!-\!\sqrt a)\ \cdots [1]\] と変形できる.
(i)
$0 \leqq x < a$ のとき. $\sqrt x < \sqrt a$ つまり $\sqrt x-\sqrt a < 0$ から, \begin{align*} [1] &\iff \sqrt x+\sqrt a > \sqrt a+\sqrt b \\ &\iff \sqrt x > \sqrt b \iff x > b \end{align*} となり, $b < x < a$ となる. これは $a < b$ に反するから, 不等式の解は存在しない.
(ii)
$x = a$ のとき. $[1]$ の両辺は $0$ となるから, 不等式の解は存在しない.
(iii)
$a < x$ のとき. $\sqrt x > \sqrt a$ つまり $\sqrt x-\sqrt a > 0$ から, \begin{align*} [1] &\iff \sqrt x+\sqrt a < \sqrt a+\sqrt b \\ &\iff \sqrt x < \sqrt b \iff x < b \end{align*} となる. よって, 不等式の解は $a < x < b$ である.
ゆえに, 求める解は $a < x < b$ である.

背景

 相加・相乗平均の不等式は, $y = \sqrt x$ のグラフが上に凸であるという性質を反映している.