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真の理解のためのシンプルな数学のノート

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既約多項式

既約多項式

 $A$ を単位的可換環とする.

定義≪既約多項式≫

(1)
定数でない $A$ 上の多項式 $f(x)$ が定数以外の $A$ 上のすべての多項式で割り切れないとき, $f(x)$ は $A$ 上既約(irreducible)であるという.
(2)
$A$ 上既約でない多項式は, 可約(reducible)であるという.

例≪既約多項式≫

(1)
$A$ 上の $1$ 次多項式は $A$ 上既約である.
(2)
$x^2-2$ が $x^2-2 = (ax+b)(cx+d)$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d$: 定数)と因数分解できるとすると, $\sqrt 2 = -\dfrac{b}{a}$ または $\sqrt 2 = -\dfrac{d}{c}$ となり, $\sqrt 2$ が無理数であることにより $a,$ $b,$ $c,$ $d$ は有理数とはならないので, $x^2-2$ は有理数体 $\mathbb Q$ 上既約である.
(3)
$x^2-1 = (x+1)(x-1)$ は $A$ 上可約である.

定理≪アイゼンシュタインの既約判定法≫

 ある素数 $p$ に対して,
(E1)
最高次の項の係数が $p$ で割り切れる
(E2)
それ以外の係数が $p$ で割り切れる
(E3)
定数項が $p^2$ で割り切れない
という条件を同時に満たす整数係数多項式は有理数体 $\mathbb Q$ 上既約である.
 一般に, この定理は一意分解整域 $A$ とその分数体 $K,$ および $A$ の素元 $p$ に対して成り立つ.

問題

数学 A: 整数の性質

問題≪アイゼンシュタイン多項式≫

 $n$ を $2$ 以上の整数, $p$ を素数, $a_0,$ $\cdots,$ $a_{n-1}$ を整数とする. 多項式 \[ f(x) = x^n+pa_{n-1}x^{n-1}+\cdots +pa_1x+pa_0\] について, 次が成り立つことを示せ.
(1)
$f(x) = 0$ が整数解 $\alpha$ を持つ $\Longrightarrow$ $\alpha$ は $p$ で割り切れる.
(2)
$a_0$ が $p$ で割り切れない $\Longrightarrow$ $f(x) = 0$ は整数解を持たない.
[1996 京都大]

解答例

 こちらを参照.